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\begin{document}
\pagestyle{myheadings} %% running title
\markboth{}{{\sc Hoja 5}}


\begin{center}
\bf\Large Geometría IV
\end{center}
\begin{center}
Departamento de Matemáticas. Curso 2006/07
\end{center}

\begin{small}


\ejer
Responder brevemente a las siguientes preguntas:

\quad i) Si $f:S^1\longrightarrow\R^2$, ¿cu\'{a}nto vale $f^*(dx\wedge dy)$?

\quad ii) Si $f:M\longrightarrow N$ y  $g:N\longrightarrow L$, ¿cu\'{a}ndo tiene sentido $g^*\circ f^*$?

\quad iii) ¿Es cierto que $d\big(f^*\omega\wedge d(f^*\eta)\big)=d\big(d(f^*\omega)\wedge f^*\eta)$ para $\omega,\eta\in\Omega^2(M)$?

\quad iv) Si $\omega$ es una forma de volumen, ¿tiene $\omega(\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n)$ el mismo signo para cualquier base $\{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n\}$ de $T_p(M)$?


\ejer
Comprobar la relaci\'{o}n $f^*d\omega=d(f^*\omega)$ cuando $f$ es el cambio de polares a rectangulares $f(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sen\theta )$ y  $\omega=y\;dx+xy\;dy$.

\ejer
En $S^1$ consideramos las cartas 
$(S^1-\{(0,1)\},\phi_1)$ y $(S^1-\{(0,-1)\},\phi_2)$ dadas por las proyecciones estereogr\'{a}ficas desde los polos norte y sur, respectivamente. Probar que ambas cartas no tienen la misma orientaci\'{o}n. Efectuar alguna modificaci\'{o}n leve de alguna de ellas para que s\'{\i} conformen un atlas orientado.


\ejer
Sea $C$ la curva cerrada en $\R^2$ que viene parametrizada en coordenadas polares como $r=f(\theta)$ donde $f$ es $2\pi$-peri\'{o}dica y $\theta\in [0,2\pi]$ (se supone la orientaci\'{o}n compatible con esta parametrizaci\'{o}n). Calcular $\int_C i^*\omega$ donde $\omega=(-y\; dx+x\; dy)/(x^2+y^2)$. 


\ejer
Sea $\omega=F^1dy\wedge dz+F^2dz\wedge dx+F^3dx\wedge dy\in \Omega^2(\R^3)$. Si $S\subset\R^3$ es una superficie e $i:S\longrightarrow\R^3$ es la inclusi\'{o}n, entonces la f\'{o}rmula para $\int_S i^*\omega$ coincide con la estudiada en cursos anteriores para integrar el campo vectorial $\vec{F}=(F^1,F^2,F^3)$ sobre  $S$, $\int_{S}\vec{F}$. 

\ejer
Sea $S$ una subvariedad de dimensi\'{o}n 2 inmersa en $\R^4$. Supongamos que viene parametrizada por $\Phi:\R^2\longrightarrow\R^4$, $\Phi=(\Phi^1,\Phi^2,\Phi^3,\Phi^4)$. ¿Cu\'{a}l es la f\'{o}rmula para integrar sobre~$S$?


\ejer 
Sea $g$ un giro en $\R^3$. Demostrar que si $C$ es una curva inmersa en $\R^3$ y $g(C)$ es su imagen por el giro, $\int_C\vec{F}=\int_{g(C)}g\circ\vec{F}\circ g^{-1}$.


\ejer
Sea $\mathcal{U}\subset S^2$, donde $S^2$ es la superficie esf\'{e}rica unidad en $\R^3$. Explicar por qu\'{e} $A(\mathcal{U})=\int_{\mathcal{U}}i^*\omega$ con $\omega=x\; dy\wedge dz+y\; dz\wedge dx+z\; dx\wedge dy$ es una definici\'{o}n natural para el \'{a}rea de $\mathcal{U}$. Calcular~$A(S^2)$. {\it Indicaci\'{o}n}: Util\'{\i}cese la f\'{o}rmula para calcular integrales de superficie en $\R^3$.

\ejer
Consid\'{e}rese la $n-1$-forma en $\R^n$ dada por 
\[
\omega=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}x^idx^1\wedge dx^2\wedge\dots\wedge\widehat{dx^i}\wedge\dots\wedge dx^n
\]
donde el circunflejo indica que el t\'{e}rmino $dx^i$ se omite. En analog\'{\i}a con el problema anterior se define el \'{a}rea de $\mathcal{U}\subset S^{n-1}$ como $A(\mathcal{U})=\int_{\mathcal{U}}i^*\omega$. Sea tambi\'{e}n la $n$-forma auxiliar en $\R^n$
\[
\eta=e^{-\|\vec{x}\|^2}dx^1\wedge dx^2\wedge\dots \wedge dx^n\qquad\text{donde }\quad
\|\vec{x}\|=\sqrt{(x^1)^2+\dots +(x^n)^2}.
\]

a) Sea $f:\R^+\times S^{n-1}\longrightarrow\R^n$ dado por $f(t,x)=tx$. Comprobar que $f^*\eta=t^{n-1}e^{-t^2}dt\wedge (i^*\omega)$.

b) Probar que $\int_{\mathbb{R}^n}\eta=\int_{\mathbb{R}^n-\{\pmb{0}\}}\eta=\pi^{n/2}$. {\it Indicaci\'{o}n}: Buscar en un libro el valor de la integral $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\; dx$.

c) Deducir que $A(S^{n-1})=\pi^{n/2}\big/\int_0^\infty t^ne^{-t^2}dt$ y de aqu\'{\i} $A(S^{n+1})=2\pi  A(S^{n-1})/n$.

d) Demostrar por inducci\'{o}n que 
\[
A(S^{n-1})=\begin{cases}
n\pi^{n/2}/(n/2)! &\text{si $n$ es par}
\\
2n(2\pi)^{(n-1)/2}/(1\cdot 3\cdot 5\cdot\dots\cdot n) &\text{si $n$ es impar.}
           \end{cases}
\]


\ejer
Sea $M$ orientable y $\mathcal{A}_1$, $\mathcal{A}_2$ dos atlas orientados. Dado $p\in M$ se define $f(p)=1$ si existen cartas $(\mathcal{U}_i(p),\phi_i)\in\mathcal{A}_i$, $i=1,2$, con  $\text{det}\big(J(\phi_2\circ\phi_1^{-1})(p)\big)>0$ y $f(p)=-1$ en otro caso.

a) Probar que $f$ es $C^\infty$ (basta ver que es continua).

b) Probar que $M$ admite m\'{a}s de dos orientaciones si y s\'{o}lo si $f$ no es constante en $M$ para alguna elecci\'{o}n de $\mathcal{A}_1$ y $\mathcal{A}_2$.

c) Deducir que una variedad conexa s\'{o}lo admite dos orientaciones. {\it Indicaci\'{o}n}: $f^{-1}(\{\pm 1\})$ deben ser abiertos si $f$ es continua.


\end{small}
\end{document}

