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\begin{document}
\pagestyle{myheadings} %% running title
\markboth{}{{\sc Hoja 4}}


\begin{center}
\bf\Large Geometría IV
\end{center}
\begin{center}
Departamento de Matemáticas. Curso 2006/07
\end{center}

\begin{small}


\ejer
Responder brevemente a las siguientes preguntas:
\par
\quad i)
Si  $\omega(\vec{e}_1+2\vec{e}_2,\vec{e}_1+\vec{e}_2)=2$, ?`cu\'{a}nto vale
$\omega(\vec{e}_2,\vec{e}_1)$?

\quad ii)
Si $M$ es una variedad $n$-dimensional y $\omega\in\Omega^{n-3}(M)$ y $\eta\in\Omega^1(M)$, ?`cu\'{a}nto vale
$d\omega\wedge\eta\wedge d\eta$?

\quad iii)
?`Por qu\'{e} se puede asegurar que el producto exterior de formas alternadas es realmente una forma
alternada?

\quad iv)
Si $\omega=\widetilde{\varphi}^1\wedge\widetilde{\varphi}^2+\widetilde{\varphi}^3\wedge\widetilde{\varphi}^4$ con
$\widetilde{\varphi}^1,\widetilde{\varphi}^2, \widetilde{\varphi}^3,\widetilde{\varphi}^4\in
V^*$, ?`c\'{o}mo se pueden
simplificar  las expresiones $\omega\wedge\omega$ y  $\omega\wedge\omega\wedge\omega$?

\quad v)
?`Por qu\'{e} por cada sumando
no nulo en la definici\'{o}n del producto exterior hay~$k!l!$ con el mismo valor?

\ejer
Para $n>1$ definamos en $\R^n$ con la base usual el \emph{producto vectorial
generalizado}\index{producto
vectorial} de $n-1$ vectores $\vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots,\vec{v}_{n-1}$ como
cero
si son linealmente dependientes, y como el vector $\vec{w}$ que cumple
\[
\vec{x}\cdot\vec{w}=\text{det}(\vec{x},\vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots,\vec{v}_{n-1})
\qquad\text{para todo }\quad\vec{x}\in\R^n
\]
si son linealmente independientes.
N\'{o}tese que para $n=3$ el producto
vectorial\index{producto
vectorial} usual tiene esta propiedad y est\'{a} caracterizada por ella.

a) Demostrar que este producto vectorial\index{producto vectorial} est\'{a}
bien
definido. Es decir, que no pueden existir dos $\vec{w}$ con la propiedad anterior.
Probar tambi\'{e}n que el producto vectorial generalizado\index{producto vectorial}
es siempre ortogonal a cada uno de los vectores de partida.

b) Demostrar que la funci\'{o}n $M_i$ que asigna a $(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots,\vec{v}_{n-1})$
la  $i$-esima  coordenada de su producto vectorial generalizado\index{producto
vectorial} cumple $M_i\in \text{Alt}^{n-1}(\R^n)$.

c)  Expresar $M_i$ en t\'{e}rminos de productos exteriores de elementos de
la base
dual de la usual. {\it Indicaci\'{o}n:} T\'{o}mese como $\vec{x}$ el $i$-\'{e}simo vector de la base can\'{o}nica.


\ejer
Si $\omega\in\Omega^0(\R^3)$, es decir, si $\omega$ es una funci\'{o}n, entonces
los
coeficientes de $d\omega$ vienen dados por el gradiente (usamos la carta trivial).
Encontrar relaciones similares con el rotacional y la divergencia en $\Omega^1(\R^3)$
y $\Omega^2(\R^3)$.


\ejer
Comprobar en $\R^3$ (con la carta trivial) la relaci\'{o}n $d(\omega\wedge\eta)=d\omega\wedge\eta-\omega\wedge d\eta$
para las uno formas $\omega=x^2y^2z^2dy+x^3dz$ y $\eta=zdy+dz$.

\ejer
Sea $\omega=dx\wedge dy\in\Omega(\R^2)$. Para
$f:\R^2\longrightarrow\R^2$
calcular $\omega(df\big(\frac{\partial}{\partial x}\big), df\big(\frac{\partial}{\partial
y}\big))$ donde $df$ es la aplicaci\'{o}n tangente.


\ejer
Sea $\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n$ uno formas alternadas. Probar que
son linealmente dependientes sobre $\R$ si y s\'{o}lo si $\omega_1\wedge\omega_2\wedge\dots\wedge\omega_n=0$.
{\it Indicaci\'{o}n:} Si fueran independientes, ser\'{\i}an base de un subespacio de $V^*$ y tendr\'{\i}an una base (bi-)dual en $V$.


\ejer
Sea
$\omega=\sum  f_{i_1i_2\dots i_k}\;
dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge \cdots\wedge dx^{i_k}\in\Omega^k(M)$ donde $i_1<i_2<\dots<i_k$. Demostrar
que la componente $j_1,j_2,\dots,j_{k+1}$, con $j_1<j_2<\dots<j_k$,  del tensor $d\omega$ es
\[
\sum_{s=1}^{k+1}
(-1)^{s-1}\frac{\partial f_{j_1\dots \widehat{j_s}\dots j_{k+1}}}{\partial
x^{j_s}}
\]
donde el circunflejo indica que se omite ese \'{\i}ndice.

\ejer
Probar
$\omega\wedge\eta=(-1)^{kl}\eta\wedge\omega,
$ para $\omega\in \text{Alt}^k(V)$, $\eta\in \text{Alt}^l(V)$. Probar tambi\'{e}n  la propiedad asociativa  $(\omega\wedge\eta)\wedge\tau=\omega\wedge(\eta\wedge\tau)$ a partir de la definici\'{o}n.

\end{small}
\end{document}

