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\begin{document}
\pagestyle{myheadings} %% running title
\markboth{}{{\sc Hoja 3}}


\begin{center}
\bf\Large Geometría IV
\end{center}
\begin{center}
Departamento de Matemáticas. Curso 2006/07
\end{center}

\begin{small}


\label{2.1.12}\ejer
Considerando  $\R^3$ como variedad, escribir la uno forma
$
 x\;dx+
 y\;dy+
z\;dz
$
en coordenadas esf\'{e}ricas.
\par


\ejer
En un ejemplo de la secci\'{o}n se defini\'{o} un campo de vectores sobre $S^1-\{(-1,0)\}$. Extenderlo a un campo de vectores $C^\infty$ en $S^1$ comprobando que lo es empleando alguna carta compatible.

\ejer
Se dice que un tensor de tipo $(0,2)$ es \emph{sim\'{e}trico}\index{tensor sim\'{e}trico} si $T_{ij}=T_{ji}$ donde $T_{ij}$ son sus componentes.

a) Demostrar que este concepto de simetr\'{\i}a est\'{a} bien definido, es decir, que no depende de la carta empleada para calcular las componentes.

b) Comprobar que sin embargo no se puede extender a tensores de tipo $(1,1)$, concretamente, construir un ejemplo para el que $T_j^i=T_i^j$ se cumpla usando una carta pero no  otra.

$\scriptscriptstyle{*}$c) ?`Qu\'{e} matrices sim\'{e}tricas lo siguen siendo en cualquier otra base?




\ejer
Dar un ejemplo concreto en $\R^2$ con la carta trivial que muestre
que las derivadas parciales de las componentes de un campo de vectores
no tienen car\'{a}cter tensorial: no se transforman como las componentes
de un tensor de tipo $(1,1)$.

\label{2.1.15}\ejer
Seg\'{u}n hab\'{\i}amos visto, el cambio a polares lleva la m\'{e}trica
usual de $\R^2$,
$dx\otimes dx+dy\otimes dy$,
a
$dr\otimes dr+r^2d\theta\otimes d\theta$.
Hallar ahora un cambio de   coordenadas (de carta) en $\R^2$ que pase
la \emph{m\'{e}trica  de Minkowski} en $\R^2$, $dx\otimes dx-dy\otimes dy$,
a
$dr\otimes dr-r^2d\theta\otimes d\theta$.
{\it Indicaci\'{o}n:} {Los dos problemas son similares salvo el \lq\lq  cambio''
$y\mapsto y\sqrt{-1}$, $\theta\mapsto \theta\sqrt{-1}$}.
\par


\ejer
Sea $M$ una variedad bidimensional. Un campo de uno formas en $M$ se expresa en cada carta $(\mathcal{U},\phi=(x^1,x^2))$ como $T=T_1dx^1+T_2dx^2$. Sea $\mathcal{D}$ el operador que asigna a $T$ el tensor de tipo $(0,2)$ en $M$ dado por
\[
\big(\fracpar{T_2}{x^1}-\fracpar{T_1}{x^2}\big)
dx^1\otimes dx^2
+
\big(\fracpar{T_1}{x^2}-\fracpar{T_2}{x^1}\big)
dx^2\otimes dx^1.
\]
Demostrar que $\mathcal{D}$ est\'{a} bien definido, es decir, que no depende de la carta escogida.


\end{small}
\end{document}

