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\def\fracpar#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\def\ejer{\ \par\vskip-7pt{\bf\number\value{ejeno})\ }\addtocounter{ejeno}{1}}
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\begin{document}
\pagestyle{myheadings} %% running title
\markboth{}{{\sc Hoja 2}}


\begin{center}
\bf\Large Geometría IV
\end{center}
\begin{center}
Departamento de Matemáticas. Curso 2006/07
\end{center}

\begin{small}


\label{2.1.9}\ejer
Comprobar que para definir la circunferencia unidad bastan dos cartas. Util\'{\i}cese un argumento topol\'{o}gico para probar que una no es suficiente.
\par

\ejer
En la superficie esf\'{e}rica unidad en $\R^3$, $S^2=\{(x,y,z)\in\R^3\;:\; x^2+y^2+z^2=1\}$ consid\'{e}rense las cartas $(S^2-\{\text{\sc n}\},\phi_\text{\sc n})$
y
$(S^2-\{\text{\sc s}\},\phi_\text{\sc s})$
que dan las proyecciones estereogr\'{a}ficas en $z=0$ desde los polos norte {\sc n} y sur {\sc s} respectivamente.

a) Hallar una f\'{o}rmula para  $\phi_\text{\sc n}$ y $\phi_\text{\sc s}$.

b) Demostrar que son cartas compatibles.

\ejer
Estudiar si con la estructura de variedad correspondiente a las cartas del problema anterior las funciones $f_1,f_2:S^2\longrightarrow\R$ dadas por $f_1(x,y,z)=|z-1|$ y $f_2(x,y,z)=|x|$ son $C^\infty$.

\ejer
Sea $f:S^1\longrightarrow S^1$ dada por un giro de \'{a}ngulo $\alpha$. Describir el efecto de la aplicaci\'{o}n tangente sobre $\partial_1$ en los siguientes casos:

a) En ambas circunferencias se emplea la carta $(S^2-\{(-1,0)\},\phi_1)$ donde $\phi_1$ asigna a cada puntoel \'{a}ngulo que determina con $OX$, normalizado en $(-\pi,\pi)$.

b) En la primera se emplea $(S^2-\{(-1,0)\},\phi_1)$ y en la segunda $(S^2\cap\{x>0\},\phi_2)$ con $\phi_2(x,y)=y$.


\ejer
Comprobar usando las definiciones dadas en la secci\'{o}n que realmente
\[
dx^i|_p
\bigg(
\frac{\partial}{\partial x^j}\bigg|_{p}
\bigg)=\delta_j^i.
\]
?`C\'{o}mo se deduce de aqu\'{\i} que los $dx^i|_p$ son linealmente independientes?
?`Y que todo elemento de $T_p^*(M)$ es una combinaci\'{o}n lineal de los
$dx^i|_p$?


\label{2.1.10}\ejer
Demostrar que una variedad unidimensional no es bidimensional, en el
sentido de que no puede existir una carta bidimensional compatible con una unidimensional.
\underbar{Nota}: Naturalmente esto es cierto en general pero no es f\'{a}cil de probar.
\par

\end{small}
\end{document}

