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\begin{document}
\pagestyle{myheadings} %% running title
\markboth{}{{\sc Hoja 1}}


\begin{center}
\bf\Large Geometría IV
\end{center}
\begin{center}
Departamento de Matemáticas. Curso 2006/07
\end{center}

\begin{small}


\label{2.1.1}\ejer
Responder brevemente a las siguientes preguntas:
\par
\quad i) Si $T=T(\vec{x},\vec{y})$ y $S=S(\vec{x},\vec{y})$ son tensores, ?\lq lo es
$R(\vec{x},\vec{y})=T(\vec{x},\vec{y})\cdot S(\vec{x},\vec{y})$?
\par
\quad ii) ?\lq Es $T(\vec{x},\vec{y})=\vec{x}+\vec{y}$ una
aplicaci\'{o}n bilineal?
\par
\quad iii) ?\lq Es el producto tensorial conmutativo?
\par
\quad iv) ?\lq Es un tensor la aplicaci\'{o}n que a cada par de vectores en $\R^3$ con la base can\'{o}nica le
asigna la primera coordenada de su producto vectorial?
\par
\quad v) ?\lq Es un tensor la aplicaci\'{o}n que a cada par de vectores en $\R^2$ con la base can\'{o}nica  le
asigna el \'{a}rea del paralelogramo que determinan?
\par
\quad vi) ?\lq Cu\'{a}ntas componentes tiene un tensor de tipo $(r,s)$ con $V=\R^m$?
\par
\quad \label{2.1.viii}vii) ?\lq Por qu\'{e} si las componentes de dos tensores
coinciden en una base deben coincidir en todas?
\par

\label{2.1.2}\ejer
Demostrar que, fijada una base,
todo tensor dos veces covariante es de la forma
$T(\vec{x},\vec{y})=\vec{x}^tA\vec{y}$ con $A$ una matriz.
\par

\label{2.1.3}\ejer
Hallar cu\'{a}ntas componentes nulas y cu\'{a}ntas no nulas tiene el tensor
determinante. Estudiar tambi\'{e}n  cu\'{a}ntas son positivas.
\par

\label{2.1.7}\ejer
Si multiplicamos tensorialmente unos cuantos elementos de $\mathcal{B}$ y
otros de $\mathcal{B}^*$, hallar cu\'{a}ntas componentes no nulas tiene el tensor
resultante. Usar este hecho para probar que todo tensor se puede
escribir como combinaci\'{o}n lineal de estos productos tensoriales.
\par


\label{2.1.4}\ejer
Para $V=\R^3$ consideremos un tensor de tipo $(0,3)$, otro de tipo
$(1,2)$ y otro de tipo $(2,1)$, cuyas componentes, digamos
$\epsilon_{ijk}$,  $\epsilon_{jk}^i$
y $\epsilon_{k}^{ij}$, en la base can\'{o}nica
son: $0$ si $i,j,k$ no es una reordenaci\'{o}n de
$1,2,3$;
$1$ si $i,j,k$ es una permutaci\'{o}n par de $1,2,3$ (esto es, se ordena con
un n\'{u}mero par de intercambios) y~$-1$ si $i,j,k$ es una permutaci\'{o}n impar de $1,2,3$.
Dados $\vec{u},\vec{v},\vec{w}\in\R^3$ y
$\vec{F}:\R^3\longrightarrow\R^3$, $\vec{F}=(F^1,F^2,F^3)$,
explicar qu\'{e} objetos
matem\'{a}ticos bien conocidos representan las cantidades
$\epsilon^{ij}_{k}\partial F^k/\partial x^j$,
$\epsilon^i_{jk}v^jw^k$ y $\epsilon_{ijk}u^iv^jw^k$.
\par

\label{2.1.5}\ejer
Sea un endomorfismo $\vec{x}\mapsto A\vec{x}$, con $A=(a_j^i)$, en
$\R^n$.
\par
a) Dar una demostraci\'{o}n tensorial de que la traza $a_i^i$ es invariante
por cambios de base.
\par
b) Probar que $a_i^ia_j^j-a_j^ia_i^j$ tambi\'{e}n es invariante e identificar
esta cantidad en t\'{e}rminos de trazas de matrices.
\par

\label{2.1.8}\ejer
Sea $\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots,\vec{v}_m\}$ una base de $\R^m$ y sean
$g_{ij}$ las componentes del tensor m\'{e}trico usual, es decir,
$g_{ij}=\vec{v}_i\cdot \vec{v}_j$. Demostrar que
\[
|\text{det}(\vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots,\vec{v}_m)|=\sqrt{\text{det}(g_{ij})}.
\]
{\it Indicaci\'{o}n:} {Cambiar a una base ortonormal y escribir $g_{ij}$ en t\'{e}rminos
de la matriz de cambio de base}.
\par

\end{small}
\end{document}

