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%%%%%%%COUNTERS
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\begin{document}



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\pagestyle{empty}

\begin{center}
\begin{Large}
\textbf{Geometría IV}
\\
\
\\
Primera parte \qquad {\begin{normalsize}
22 de marzo de 2007
                      \end{normalsize}}
\end{Large}
\end{center}

\ejer
Responder brevemente a las siguientes preguntas:

a) ¿Es el producto tensorial de tensores covariantes conmutativo?

b) Si $\omega\in\text{Alt}^2(\R^3)$ no es idénticamente nula ¿puede cumplirse $\omega(\vec{u},\vec{v})=\omega(\vec{v},\vec{w})=0$ para tres vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$, linealmente independientes? 

%c) ¿Es $f(\vec{x})=\vec{x}+\vec{x}/\|\vec{x}\|$ 
%un difeomorfismo entre $\R^2-\{(0,0)\}$ y $\{(x,y)\;:\; x^2+y^2>1\}$?

c) Si $\omega\in\Omega^{2k+1}(M)$, $\eta\in\Omega^{2k}(M)$ y $f:N\longrightarrow M$, ¿cómo se puede simplificar la expresión
$f^*d(d\omega\wedge\eta)+d\big((f^*d\eta)\wedge f^*\omega\big)$? 

\ejer
Sea
\[
\omega=\bigg(2x-\frac{y}{x^2+y^2}\bigg)\; dx+\frac{x^2+x+y^2}{x^2+y^2}\; dy\in\Omega^1(\R^2-\{(0,0)\}).
\]

a) Calcular $\int_{S^1} j^*\omega$ con alguna de las dos orientaciones de $S^1$, donde $j:S^1\longrightarrow\R^2$ es la inclusión.

b) Probar que no existe ninguna $0$-forma (función), $\eta$,  en $\R^2-\{(0,0)\}$  con $d\eta=\omega$. {\it Indicación}: Se puede emplear el Teorema de Stokes.


\ejer
Demostrar que si las componentes $T_{ij}$ de un campo tensorial de tipo $(0,2)$ son simétricas (cumplen $T_{ij}=T_{ji}$) empleando una carta $(\mathcal{U},\phi)$, entonces también lo son (en $\mathcal{U}\cap\mathcal{V}$) empleando cualquier otra carta compatible   $(\mathcal{V},\psi)$.

\ejer
Supongamos que para cierta $\omega\in\Omega^3(M)$ no idénticamente nula existe una función $f:M\longrightarrow M$ tal que $f^*\omega=\omega$. ¿Es necesariamente $f$ la función identidad? 


\end{document}
