TEMAS MATEMÁTICOS
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NÚMEROS PRIMOS

Un número primo es un número natural que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad.
•	¿ Cómo se obtienen los números primos?
•	¿Cuántos hay?
•	¿Cómo están distribuidos? 

La criba de Eratóstenes
Eratóstenes, nacido en Grecia hacia el año 230 antes de Cristo, fue bibliotecario de la Universidad de Alejandría, en Egipto. Inventó un método para encontrar números primos que todavía se utiliza, la criba de Eratóstenes:

Se colocan los números del 1 al 100 en una tabla. Se tacha el 1 porque no es primo. Se rodea con un círculo el 2 que es el primer primo y se tachan todos sus múltiplos. Luego se encierra en un círculo el siguiente número que no se ha tachado, el 3, y se tachan todos sus múltiplos. Se continúa así hasta llegar al último número de la lista. Los números que no se han tachado son los números primos menores que 100.		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	
		11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	
		21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	
		31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	
		41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	
		51	52	53	54	55	56	57	58	59	60	
		61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	
		71	72	73	74	75	76	77	78	79	80	
		81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	
		91	92	93	94	95	96	97	98	99	100	

•	¿A partir de qué número ya no hace falta seguir tachando todos sus múltiplos? ¿Por qué?
•	Observa los primos de la lista mayores que 5. ¿Cuáles son los dígitos de las unidades? 
•	Un número primo mayor que 100, ¿podría terminar por un número distinto a los que has encontrado? ¿Por qué?
•	El número 13 es primo y si le damos la vuelta tenemos 31 que es también primo. Podemos llamar a 13 número omirp (primo deletreado al revés) porque 31 es también un número primo diferente. Pero 11 no es omirp. Haz la lista de todos los omirps menores que 100.

Primos gemelos 
Algunos primos están distribuidos por parejas, por ejemplo 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13. Estas parejas se llaman primos gemelos por razones obvias. Completa la lista de todos los primos gemelos menores que 100. Calcula también su suma y su producto.

Primos gemelos	Suma	Producto	•	¿Encuentras alguna propiedad en la columna de las sumas?
•	 ¿Podrías demostrar algún resultado sobre la suma de primos gemelos?
•	¿Encuentras alguna propiedad en la columna de los productos?
•	 ¿Podrías demostrar algún resultado sobre el producto de primos gemelos?

				

				

				

•	3, 5 y 7 son primos trillizos. Trata de encontrar más primos trillizos.

¿Cuántos números primos hay?
Euclides, nacido en Grecia hacia el año 300 antes de Cristo, fue un famoso matemático que demostró que hay infinitos números primos. Esto significa que la lista de números primos no termina nunca. Lo hizo demostrando que si se hace una lista de números primos de 2 a P:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..., P
siempre se encuentra un número primo que no está en la lista. 
Su forma de proceder fue la siguiente:
Al producto de todos los números de la lista le sumó 1 y al número que obtuvo le llamó N:
N = 2 x 3 x 5 x 7 x ... x P + 1
Este número N es primo o no lo es. 
–	Si N es primo, puesto que no es igual a ninguno de los números de la lista, entonces se ha definido un nuevo número primo. 
–	Si N no es primo sabemos que se puede escribir como producto de dos números, uno de ellos primo. Se puede escribir así:  N = qN', siendo q un número primo divisor de N.
¿Puede ser q alguno de los números de la lista anterior de números primos desde 2 hasta P? 
Veamos que no, que es un nuevo número primo. 
¿Por qué?: 
-	Porque si dividimos N entre q, el resto es cero.
-	Pero si dividimos N por cualquiera de los números primos entre 2 y P, se obtiene 1 como resto.
De esta forma Euclides encontró un nuevo número primo que no estaba en la lista. Esto significa que no es posible elaborar una lista finita con todos los números primos, lo que concluye la demostración.