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%%          Este es un fichero Latex que contiene
%%         ejercicios para el curso de Tercer Ciclo
%%        Análisis de Fourier y aplicaciones, 2004/05
%%                 Eugenio Hernández
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}

\centerline{\bf UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE MADRID}

\vspace {3mm}

\centerline {\bf ANÁLISIS DE FOURIER Y APLICACIONES}

\centerline {  TERCER CICLO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS}


\centerline{{\bf Eugenio Hernández}, \ \ \it Curso 2004-05}


\vspace {3mm} \hrule\vspace{3mm}

{\bf 1.1} Sea $f$ continua en $x_0\in \R^n$. Demuestra que

$$\lim_{r\to 0+} \frac{1}{|B_r(x_0)|} \int_{B_r(x_0)} f(y)\, dy =
f(x_0)\,,$$

donde $B_r(x_0)=\{x\in \R^n : \| {x-x_0}\| \leq r\}.$

\vspace {3mm}


{\bf 1.2} Escribe $\big(\text{sen}\frac{\pi x}{L}\, \big )^3$ como
combinación lineal finita de elementos de la forma
$\text{sen}\frac{k\pi x}{L}\,$ para $1\leq k \leq 3$.



\vspace {5mm}


{\bf 1.3} Con $x=r\cos 2\pi \theta$, $y=\text{sen}\, 2\pi \theta$,
demuestra que

$$ \dddr{u}{x} + \dddr{u}{y} = \dddr{u}{r} + \frac1r \dd{u}{r} +
\frac1{4\pi^2}\frac1{r^2} \dddr{u}{\theta}\,.$$

\vspace {5mm}

{\bf 1.4} {\bf a)} Usando la suma de una progresión geométrica
demuestra que

$$ D_N(x) \equiv \sum_{n=-N}^{N} e^{2\pi n x} = \frac{\text{sen}\,
\pi(2N+1)x}{\text{sen}\,\pi x}$$

{\bf b)} Prueba que $\int_0^1 D_N(x)\, dx = 1\,.$

{\bf c)} Dibuja, con ordenador, las gráficas de $D_N(x)$ para
$N=1,2,3,4,5\,.$

\vspace {5mm}

 {\bf 1.5} Demuestra que la función $g(x)=\frac{1}{\log
 \frac{1}{|x|}}$ si $x\neq 0$ y $g(0)=0$ definida en $[-1/2, 1/2]$
 es continua, pero no satisface la condición de Dini.

\vspace{3mm} \hrule\vspace{3mm}

{\bf 2.1} {\bf a)} Usando la fórmula para la suma de una serie
geométrica demuestra que $$ P_r (\theta) \equiv
\sum_{n=-\infty}^{n=\infty} r^{|n|} e^{2\pi i n \theta} =
\frac{1-r^2}{1+r^2 - 2r\cos(2\pi \theta)}\,, \qquad 0\leq r<1, \
-\frac12 \leq \theta \leq \frac12\,.$$

{\bf b)} Demuestra que $ \int_{-1/2}^{1/2} P_r(\theta)\, d\theta =
1\,.$

{\bf c)} Dibuja $P_r(\theta)$ en $[-\frac12, \frac12]$ para
$r=\frac12, \frac34, \frac78\,.$

\vspace {5mm}

{\bf 2.2} {\bf a)} Demuestra que $$ F_N(t) \equiv \frac1{N+1}
\sum_{k=0}^N D_k (t) =
\frac1{N+1}\big(\frac{\text{sen}\,\pi(N+1)t}{\text{sen}\,\pi
t}\big)^2\,, \qquad N=0,1,2,....$$

{\bf b)} Prueba que $\int_{-1/2}^{1/2} F_N(t)\, dt = 1\,.$

{\bf c)} Dibuja $F_N(t)$ en $[-\frac12, \frac12]$ para $N=2,4,6,.$

\vspace{3mm} \hrule\vspace{3mm}

{\bf 3.1} {\bf a)} Demuestra que $P_r(\theta)$ (véase el ejercicio
2.1) es un núcleo de sumabilidad en $\mathbb T=[-\frac12,
\frac12]$ para $r\rightarrow 1-\,.$

{\bf b)} Demuestra que $F_N(t)$ (véase el ejercicio 2.2) es un
núcleo de sumabilidad en $\mathbb T=[-\frac12, \frac12]$ para
$N\rightarrow \infty,.$


\vspace {5mm}

{\bf 3.2} Usar la definición de $\sigma_N f(t)$ (véase el
ejercicio 3.2), la definición de $D_Nf(t)$ como combinación lineal
de exponenciales, e intercambiar el orden de sumación, para probar
$$ \sigma_N f(t) = \sum_{k=-N}^{k=N} (1 - \frac{|k|}{N+1})\hat f
(k) e^{2\pi ikt}\,.$$

\vspace {5mm}

{\bf 3.3}  Demuestra la identidad de polarización $$ 4 <u,
 \,v> = \|u+v\|^2 - \|u-v\|^2 + i\|u+iv\|^2 -i\|u-iv\|^2\,,$$ válida
para cualquier producto escalar.

\vspace {5mm}

 {\bf 3.4} Usa la identidad de polarización y la igualdad de
Plancherel para demostrar la {\bf igualdad de Parseval}: si
$\{u_n: n\in \N\}$ es una base ortonormal de un espacio de Hilbert
$(H, <,>)$ y $u, v \in H$ se tiene $$<u, \,v>\, = \sum_{n\in \N}
\hat u(n) \overline{\hat v(n)}\,.$$

\vspace {3mm} \hrule\vspace{3mm}

{\bf 4.1} Si $0 < p < \infty$, demuestra que

$$ \|f\|_{L^p(\R^n)} = p\int_0^\infty
\lambda^{p-1}\sigma_f(\lambda)\, d\lambda\,,$$ donde
$\sigma_f(\lambda)= |\{x\in \R^n: |f(x)|>\lambda\}|$ es la {\bf
función de distribución} de f. ({\sc  nota}: en la igualdad
anterior puede reemplazarse $\R^n$ por cualquier espacio de
medida.)

\vspace {5mm}

{\bf 4.2} Sea $0 < p \leq \infty$ y $T$ un operador definido en
$L^p(\R^n)$ con valores en el conjunto de funciones medibles de
$\R^n$ en $\R$ ( o en $\C$). Si $0<q<\infty$, $T$ se dice que es
de {\bf tipo débil $(p,q)$} si existe una constante $C$ tal que

$$ |\{x\in \R^n: |Tf(x)|> \lambda\}| \leq
\big(\frac{C\|f\|_{L^p(\R^n)}}{\lambda}\big)^q\, , \qquad \forall
f\in L^p(\R^n)\,. $$ Demuestra que si $T$ está acotado de
$L^p(\R^n)$ en $L^q(\R^n)$ (se dice, en este caso, que $T$ es de
{\bf tipo fuerte ($p,q$)}), entonces $T$ es de tipo débil ($p,q$).

\vspace {5mm}

{\bf 4.3} Siguiendo la demostración del teorema de diferenciación
de Lebesgue hecha en clase, demuestra el resultado siguiente:

\vspace {3mm}

{\sc Teorema 3, Sección 1.5} ({\it Convergencia en casi todo
punto). Sea $0 < p < \infty$ y $\{T_r: r\in I\}$, $I$ intervalo en
$\R$, una familia de operadores {\bf lineales} definidos en
$L^p(\R^n)$ con valores en el conjunto de funciones medibles de
$\R^n$ en $\R$ ( o en $\C$). Se define el {\bf operador maximal}
asociado a esta familia como $$ T^* f(x) = \sup_{r\in I} |T_r
f(x)|\,.$$ Supongamos que $r_0\in \overline I$ y que

(a) $T^*$ es de tipo débil ($p,q$) para algún $q\in (0,\infty)$.

(b) Existe un conjunto $D$ denso en $L^p(\R^n)$ para el que si
$f\in D$, $\lim_{r\to r_0} T_r f(x) = f(x)$ para todo $x\in\R^n$
(el límite se considera lateral si $r_0$ es un extremo de $I$).

Entonces, si $f\in L^p(\R^n)$, $$\lim_{r\to r_0} T_r f(x) = f(x)\,
\qquad \text {para casi todo}\ x\in \R^n\,.$$}

\vspace {3mm} \hrule\vspace{3mm}


{\bf 5.1} Describe $Mf(x)$ para todo $x\in \R$, cuando $f$ es la
función característica de un intervalo $I=(a,b)\in \R\,.$ ({\it
Sugerencia}: estudiar por separado los casos $x\in (a,b)$, $x\geq
b$ y $x\leq a$.)

\vspace {5mm}

{\bf 5.2} Demuestra el teorema de interpolación de Marcinkiewicz
para el caso $p_1 < \infty$

\vspace {3mm}

{\sc Teorema 2, Sección 1.6} ({\sc Marcinkiewicz}) {\it Sean
$1\leq p_0 < p_1 \leq \infty$ y $T$ un operador sublineal definido
en $L^{p_0} + L^{p_1}$ con valores en el conjunto de funciones
medibles de $\R^n$ en $\C$. Supongamos que $T$ es tipo débil
($p_0, p_0$) y tipo débil ($p_1, p_1$). Entonces, $T$ es tipo
fuerte ($p,p$) para todo $p$ tal que $p_0 < p < p_1$.}

\vspace {5mm} \hrule\vspace{5mm}

{\bf 6.1} {\bf a)} Demuestra que $$\hat f(0) = 1/2 \qquad \text{y}
\qquad  \hat f(k) = \frac{2\, \text {sen}^2\, (\pi k/2)}{k^2\pi^2}
\quad \text{si}\quad  k\neq 0,$$ cuando $f(t) = 1 - 2|t|$, $t\in
[-1/2, 1/2].$ Utiliza este resultado para probar que

$$ i) \sum_{k\in \Z} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{4}  \qquad
ii) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} \qquad
iii) \sum_{k\in \Z\setminus \{0\}} \frac{(-1)^{k+1}}{k^2} =
\frac{\pi^2}{6} $$

{\bf b)} Demuestra que $$\hat g (k) =
\frac{(-1)^k}{1+k^2}\frac{\text\,{senh}\, \pi}{\pi}$$ para
$g(t)=\text\,{cosh}\, (2\pi t)$, $t\in [-1/2, 1/2].$ Utiliza este
resultado para calcular $  \sum_{k\in \Z} \frac{(-1)^k}{1+k^2}. $

\vspace {3mm} \hrule\vspace{3mm}

{\bf 6.2} Considera las siguientes operaciones sobre funciones
definidas en $\R^n$:

\centerline {{\sc Traslación:} $(T_y f)(x) = f(x-y)$, $y\in \R^n$}

\centerline {{\sc Dilatación:} $(D_A f)(x) = f(Ax)$, con $A\in
GL(n,\R)$ no singular.}

\centerline {{\sc Modulación:} $(M_z f)(x) = e^{2\pi i x\cdot z}
f(x)$, $x\in \R^n$}

\centerline {{\sc Reflexión:} $\tilde{f}(x) = f(-x)$}

Demuestra:

$$ a)\ \ \widehat{(T_y f)}(\xi) = (M_{-y}\widehat f\, )(\xi)
\qquad \qquad b)\ \ \widehat{(D_A f)}(\xi) =
\frac{1}{|det(A)|}(D_{(A^{-1})^t}\widehat f\, )(\xi) $$

$$ c) \ \ \widehat{(M_z f)}(\xi) = (T_{z}\widehat f\,)(\xi) \qquad
\qquad d) \ \ \widehat{\tilde f} (\xi) = \widehat f (-\xi) =
\tilde {\widehat f}(\xi)$$

\vspace {5mm} \hrule\vspace{3mm}

{\bf 7.1} Si $$ G_t(x) = \frac{1}{(4\pi t)^{n/2}} e^{-|x|^2/4t}\,,
\quad x\in \R^n\, \quad t>0\, $$ demuestra que $$ \widehat {(G_t)}
(\xi) = e^{-4\pi^2 |\xi|^2 t}\,.$$ (Sugerencia: usa que $\widehat
g \,(\xi) = e^{-\pi |\xi|^2 }$ cuando $g(x) = e^{-\pi |x|^2}\,.$)

\vspace {3mm}

{\bf 7.2} {\bf a)} Construye una función $\varphi \in C_c^\infty
(\R^n)$ con soporte en $[-1, 1]$ tal que $\int_{\R^n} \varphi =
1$. (Sugerencia: comienza en dimension 1 con la función $\eta(x) =
e^{-1/x}$ para $x > 0$ y $\eta (x) = 0$ para $x < 0$, que es
$C^\infty (\R)$.)

{\bf b)} Construye una función $\psi \in C_c^\infty (\R^n)$ tal
que $\psi(x) = 1$ en el anillo $1 \leq |x| \leq 2$ y $\psi(x) = 0$
si $  |x|\leq \frac12 $ ó $ |x| \geq 4$.  (Sugerencia: comienza en
dimensión 1 definiendo la función $h(x) = \int_{-\infty}^x
\varphi$, donde $\varphi$ es la función construida en {\bf a)}
para n=1.)

\vspace {5mm}

{\bf 7.3} Demuestra que $\widehat{\delta_a}$ puede identificarse
con la funci\'on $\widehat{\delta_a}(x) = e^{-2\pi i x\cdot a}.$
(En particular $\widehat{\delta_0} \equiv 1$.)

\vspace {3mm} \hrule\vspace{3mm}

{\bf 8.1} Prueba la {\bf desigualdad de Young} para la
convolución: sean $f\in L^p (\R^n)$, $g\in L^q (\R^n)$, $1 \leq p
, q \leq \infty$. Si $\frac1r = \frac1p + \frac1q -1$ se tiene que
$f\ast g\in  L^r (\R^n)$ y $$\parallel f\ast
g\parallel_{L^r(\R^n)} \, \leq \,
\parallel f\parallel_{L^p(\R^n)}\, \parallel  g\parallel_{L^q(\R^n)}\,.$$
(Sugerencia: aplica el teorema de interpolación de Riesz-Thorin
una vez probadas las desigualdades $$\parallel f\ast
g\parallel_{L^p(\R^n)} \, \leq \,
\parallel f\parallel_{L^p(\R^n)}\, \parallel
g\parallel_{L^1(\R^n)}\qquad \text{(Minkowski)}$$ y $$\parallel
f\ast g\parallel_{L^\infty(\R^n)} \, \leq \,
\parallel f\parallel_{L^p(\R^n)}\, \parallel
g\parallel_{L^{p'}(\R^n)}\qquad \text{(H\"{o}lder)} .\,)$$

\vspace {5mm}

{\bf 8.2} Sea  $ G_t(x) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-x^2/4t}\,, \
x\in \R\,,$ el núcleo del calor o núcleo de Gauss. Recuerda que $
\widehat {(G_t)} (\xi) = e^{-4\pi^2 \xi^2 t}\ , \xi\in \R\,,$
(véase el ejercicio {\bf 5.3}). Demuestra que $$ D_0(G_t) =
\sqrt{t} \qquad \text {y} \qquad D_0(\widehat{G_t}) =\frac1{4\pi
\sqrt{t}}\,.$$

({\sc Nota}: $D_0(f) = \frac1{\|f\|_{_2}}
\big(\int_{-\infty}^\infty x^2 |f(x)|^2\, dx\big)^{1/2}$ es la
dispersión de $f$ alrededor de $x=0.$)

\vspace{5mm}

{\bf 8.3} Demuestra que
$$ \int_0^\infty \frac{e^{-x^2/4t}}{\sqrt{4\pi t}}\, e^{-\lambda
t}\, dt = \frac{e^{-|x|\sqrt{\lambda}}}{2\sqrt{\lambda}}\,,\qquad
\lambda > 0,\ x\in \R $$ (Sugerencia: Comprueba que la
transformada de Fourier de la funciones que aparecen en ambos
lados de la igualdad es la misma)

\vspace {5mm}  \hrule\vspace{5mm}

{\bf 9.1} {\bf a)} Dibuja $F_R(x)=\frac1R (\frac{\mbox{sen}\pi R
x}{\pi x})^2$ para $R=1, R=2$ y $R=3$.

{\bf b)} Para $n=1$ demuestra que $\lim_{R\to\infty} \sigma_R f =
f$ en norma $L^p(\R)$, $1\leq p < \infty$ y en  norma $L^\infty
(\R)$ si $f\in C_0 (\R)$, donde $$ \sigma_R f (x) = \frac1R
\int_0^R S_t f(x) \,dt\,.$$ (Sugerencia: demuestra que $\{ F_R :
R>0\}$ es una familia de sumabilidad cuando $R\to \infty$ y usa
resultados probados en la sección 1.3. Aqui $F_R$ es el núcleo de
Fejer en $\R$.)

{\bf c)} Para $n=1$ demuestra que $\lim_{R\to\infty} \sigma_R f =
f$ c.t.p., cuando $f\in L^p(\R)$, $1\leq p < \infty$ (Sugerencia:
probar que $$ sup_{R>0}\, |\sigma_R f(x)| \leq C Mf(x)$$ donde $M$
es la función maximal de Hardy-Littlewood. Aplicar los resultados
de la sección 1.5.)

%\vspace {5mm}
%
%{\bf 9.2} Si $f\in \mathcal {S}(\R^n)$, demuestra que
%$\delta_{x_0}\ast f$ es la función $x\to f(x - x_0)$, $x_0 \in
%\R$. Es decir $\delta_{x_0}\ast f = T_{x_0} f$, donde $T$ es el
%operador de traslación.)

\vspace {5mm}

{\bf 9.2} Calcula $Hf(x)$ cuando $x\neq 0$ y $x\neq 1$ para la
función $f(x) = \chi_{(0,1)}(x)$ ($Hf$ es la transformada de
Hilbert de $f$). Deduce que la transformada de Hilbert no es un
operador acotado de $L^1(\R)$ en $L^1(\R)$ ni de $L^\infty(\R)$ en
$L^\infty(\R)$

\vspace {3mm} \hrule\vspace{5mm}

Los problemas siguientes tratan aspectos de los multiplicadores de
la tranformada de Fourier en $L^p(\R^n)$. Dada $m\in
L^\infty(\R^n)$, definimos el operador $T_m$ de manera que cuando
$\varphi\in \mathcal{S}(\R^n)$, $ (T_m\varphi)\widehat{}\ (\xi) =
m(\xi)\, \widehat{\varphi}(\xi),\ \xi\in \R^n$. Dado $1\leq p \leq
\infty$, se dice que $m$ es un multiplicador de $L^p(\R^n)$ para
la transformada de Fourier, y se escribe $m\in \mathcal{M}(\R^n)$,
si $T_m$ puede extenderse a un operador acotado de $L^p(\R^n)$ en
$L^p(\R^n)$. Se define $||m||_{\mathcal{M}_p(\R^n)} =
||T_m||_{L^p\rightarrow L^p}.$

\vspace{5mm}

{\bf 10.1} Demuestra que $||m||_{\mathcal{M}_2(\R^n)} =
||m||_{L^\infty}$.

\vspace{5mm}

{\bf 10.2} Demuestra que si $1\leq p < q \leq 2$ se tiene
$\mathcal{M}_1(\R^n)\subset \mathcal{M}_p(\R^n)\subset
\mathcal{M}_q(\R^n) \subset \mathcal{M}_2(\R^n)=L^\infty(\R^n)$.
(Indicación: usar el teorema de interpolación de Riesz-Thorin)

\vspace{5mm}

{\bf 10.3} {\bf a)} Si $m\in \mathcal{M}_p$ demuestra que
$\overline{m}\in \mathcal{M}_p$ y
$||\overline{m}||_{\mathcal{M}_p} = ||m||_{\mathcal{M}_p}.$

{\bf b)} Demuestra que si $p'$ es el exponente conjugado de $p>2$
se tiene $\mathcal{M}_{p'} = \mathcal{M}_p$ y
$||\m||_{\mathcal{M}_p} = ||m||_{\mathcal{M}_{p'}}.$

\vspace {3mm} \hrule\vspace{5mm}

{\bf 11.1} Sea $K$ una función localmente integrable en
$\R^n\setminus\{0\}$. Se dice que $K$ satisface la condición de
H\"{o}rmander si existe $B>0$ tal que

$$ (H) \quad \int_{|x|\geq 2|y|} |K(x-y) - K(x)|\, dx \leq B, \quad
\forall y\in \R^n, \ y\neq 0\,. $$

La función $K$ satisface la condición de Lipschitz si existen
constantes $A>0$ y $\delta >0$ tal que

$$ (L)\quad \  |K(x-y) - K(x)| \leq A
\frac{|y|^\delta}{|x|^{n+\delta}}, \quad \mbox{cuando}\ |x|\geq
2|y|\,.$$

La función $K$ satisface la condición del gradiente si existe $C >
0$ tal que

$$  (G) \quad \  |\nabla K(x)| \leq C |x|^{-n-1}\,, \quad x\neq
0\,. $$

Demuestra que $(G)\Rightarrow (L) \Rightarrow (H)$.

\vspace {3mm} \hrule\vspace{5mm}

{\bf 12.1} Sea $$m(\xi_1,\xi_2) =
\frac{\xi_1\xi_2^2}{(1+|\xi|^2)^{k/2}}$$ con $k\geq 3, k\in \N$ y
$|\xi|^2 = \xi_1^2 + \xi_2^2$. Demuestra que $m(\xi_1,\xi_2)$
satisface la condición de Mihlin de los multiplicadores.

\vspace{5mm}

{\bf 12.2} Si se tuviera la estimación $||I_s(f)||_{L^q(\R^n)}
\leq C_{p,q,n} ||f||_{L^p(\R^n)}$ para toda $f|in L^p(\R^n)$,
donde $I_s(f)$ son los potenciales de Riesz $$ I_s(f)(x) =
\int_{\R^n} \frac{f(x-y)}{|y|^{n-s}}\, dy\,, $$ demuestra que
necesariamente $\frac1p - \frac1q = \frac sn$\,. (Indicación:
aplica la desigualdad a $D_\lambda f$ para todo $\lambda > 0$)

\vspace {3mm} \hrule\vspace{5mm}



\end{document}
