Última modificación: 20 de diciembre de 2000

TEMA  1: Definiciones báasicas. Primeras propiedades. Ejemplos. Definición de grupo. Grupo conmutativo. Propiedades básicas. Ejemplos de grupos. Producto directo de grupos. Subgrupos, subgrupo generado por un conjunto, grupos cíclicos.
El centro de un grupo. Intersección de subgrupos.Orden de un grupo, orden de un elemento, elementos de torsión, p-grupos. Homomorfismos de grupos. Tipos de homomorfismos.

TEMA  2: Teorema de Lagrange. Clases (por la izquierda) módulo un  subgrupo. Indice de un subgrupo. Teorema de Lagrange. Corolarios. Retículo de los subgrupos de un grupo.  Problema inverso de Lagrange.Producto interno de subgrupos. Fórmula del cardinal del producto.

TEMA  3:  Grupos cíclicos. Clasificación de los grupos cíclicos. Propiedades de los elementos de torsión de un grupo. Teorema de Euler y el pequeño teorema de Fermat. El teorema de Cauchy. Caracterización de los p-grupos finitos.
Subgrupos, generadores, imágenes y automorfismos de grupos cíclicos. Caracterización de los grupos de orden primo mediante sus subgrupos.

TEMA  4:  Conjugados. Subgrupos normales. Elementos conjugados, clases de conjugación, propiedades. Automorfismos internos. Centralizador. Ecuación de clases de conjugación. Corolarios:  un p-grupo finito no trivial tiene centro no trivial; todo grupo que tenga orden el cuadrado de un primo es conmutativo. Conjugados de un subgrupo, normalizador, número de subgrupos conjugados de un subgrupo, propiedades. Definición y caracterización de subgrupos normales, ejemplos. Propiedades del producto y la intersección de subgrupos normales. Grupos simples.

TEMA  5: Grupo cociente. Teoremas de isomorfía. Grupo cociente. Primer teorema de isomorfía. El teorema de Lagrange se invierte para p-grupos finitos, incluso exigiendo la normalidad de los subgrupos.  Biyección entre los subgrupos del grupo cociente G/N y los subgrupos de G que contienen a N. El cociente de un grupo G  por su centro es isomorfo a Int(G). Equivalencia entre G abeliano, Int(G) trivial e Int(G) cíclico. Segundo y tercer teorema de isomorfía.

TEMA  6: Grupos simétricos. Ciclos, trasposiciones, órbita. Teorema de Cayley. Descomposición de una permutación como producto de ciclos disjuntos. Signo de una permutación. Grupos alternados. Sistemas de generadores  de A_n. Teorema de Abel. Los  grupos S_n  y A_n tienen centro trivial para n>3. Identificación de los grupos diédricos como subgrupos de los grupos simétricos correspondientes.

TEMA 7: Producto directo y semidirecto. Producto directo (suma directa)  de un conjunto finito de grupos. Propiedades, proyecciones. Grupo isomorfo a un producto directo de  subgrupos. Producto semidirecto de dos grupos.

TEMA  8: Teoremas de Sylow y grupos resolubles. Acción de un grupo sobre un conjunto. Propiedades. Los p-subgrupos de Sylow. Teoremas  de Sylow. Grupos resolubles

TEMA  9: Grupos abelianos finitos. Teorema de estructura de los grupos abelianos finitos. Corolarios.

TEMA 10: Grupos de orden bajo. Grupos de orden pq con p y q primos. Grupos de orden  menor que 16.
 
 

Dorronsoro, J., Hernández, E., Números, grupos y anillos, Ed. Addison-Wesley Iberoamericana - U.A.M. (1996).
Fraleigh, J.B., Álgebra Abstracta, Ed. Addison-Wesley Iberoamericana (19887).
Hungerford, T.W., Algebra, Springer-Verlag (1974).
Godement, R., Álgebra, Tecnos (1978).
Anzola, M., Caruncho, J. Pérez-Canales, G., Problemas de álgebra, Alef (1981)
Dixon, J. D., Problems in group theory, Dover Publications (1973).
 

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