Variable Compleja I, 2019-20: Desarrollo del curso día a día: 

  Clase 1, M, 28/01/2020: Introducción y presentación de los contenidos de la asignatura. Bibliografía. Método de evaluación. Consejos para estudiar. La necesidad de definir los números complejos: ampliación del cuerpo de los reales, resolución de cierta ecuación cuadrática. La existencia del cuerpo de los números complejos: definición de operaciones en RxR, comienzo de la demostración. 
  Clase 2, X, 29/01: Fin de la demostración del día anterior. De vuelta a las operaciones rutinarias con los complejos. Inverso multiplicativo, conjugación y sus primeras propiedades (con sus demostraciones).
  Clase 3, X, 30/01: Más propiedes de la conjugación, demostraciones y aplicación en ejemplos. Módulo de un número complejo. Propiedades del módulo (incluidas las desigualdades triangulares), demostraciones y ejemplos de su aplicación.
  Clase 4, L, 03/02: Representación polar de números complejos; valores del argumento, argumento principal. Multiplicación de números complejos dados en forma polar, ejemplos relacionados con la trigonometría. Fórmula de A. de Moivre; un ejemplo de aplicación.
  Clase 5, M, 04/02: Otro ejemplo de uso de la fórmula de de Moivre. Raíces complejas: su cálculo y su interpretación geométrica. Ejemplos de cálculo de raíces; raíces primitivas de la unidad.
  Clase 6, X, 05/02: Un ejemplo adicional relacionado con las raíces y sumas trigonométricas. Lugares geométricos en el plano: descripciones complejas de circunferencias, discos, rectas y semiplanos.
  Clase 7, J, 06/02: Ejercicios (Hoja 1): 2.c), 3, 4, 5.a).
  Clase 8, L, 10/02: Más sobre lugares geométricos: ecuación parametrizada de una recta que pasa por dos puntos (expresada con números complejos), punto medio y otros puntos de un segmento, medianas de un triángulo y sus propiedades. El lugar geométrico de los cuadrados de los puntos de una recta en el semiplano derecho; discusión pertinente. Hoja 1: Ejercicio 16. a), b).
  Clase 9, M, 11/02: Topología del plano complejo. Sucesiones y su convergencia. Propiedades del límite: unicidad, reglas artiméticas con límites finitos, caracterización del límite cero usando el módulo. Conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, propiedades básicas, ejemplos.
  Clase 10, X, 12/02: Repaso de la topología básica del plano. Cierre (clausura, adeherencia), interior y frontera de un conjunto: propiedades básicas y ejemplos. Sucesiones acotadas y conjuntos acotados. Conjuntos compactos: distintas caracterizaciones y ejemplos.
  Clase 11, J, 13/02: La esfera de Riemann y la proyección estereográfica. Propiedades y fórmulas de la proyección estereográfica y su transformación inversa. Plano complejo extendido.
  Clase 12, L, 17/02: Resolución de ejercicios. Hoja 1: 6, 10. a), c), 11. b), 14, 15. Hoja 2: 18. a), c), 25*.
  Clase 13, M, 18/02: Imágenes de circunferencias por la proyección estereográfica; más sobre el punto en el infinito, la métrica y la topología del plano extendido. Funciones complejas, ejemplos. Breve introducción: algunos fenómenos (enunciados sorprendentes) que produce la derivabilidad compleja. Límites de una función compleja; primeras propiedades.
  Clase 14, X, 19/02: Límite infinito, límites en el infinito, ejemplos. Continuidad de funciones complejas, primeras propiedades, ejemplos. Continuidad uniforme, teorema de Cantor, ejemplo de una función continua en el plano agujereado que no es uniformemente continua.
  Clase 15, J, 20/02: Convergencia de series complejas, criterio básico, un ejemplo. Convergencias de una sucesión de funciones: puntual y uniforme, convergencia en subconjuntos compactos de un conjunto abierto, ejemplos. Hoja 1: 27.
  Clase 16, L, 24/02: Límite uniforme de funciones continuas. Convergencias de series de funciones: puntual, uniforme y uniforme en subconjuntos compactos, ejemplos. Criterio (M-test) de Weierstrass. Ejemplo, conclusión sobre la continuidad de la suma de una serie.
  Clase 17, M, 25/02: Derivada compleja, funciones holomorfas: definición, comentarios, ejemplos. Propiedades básicas: continuidad de una función C-diferenciable, derivadas de la suma, del producto y del cociente. Hoja 2: comentarios acerca de los problemas 20. c), d), 22. c), solución de 22. b).
  Clase 18, X, 26/02: Regla de la cadena para las funciones C-diferenciables, ejemplos. Repaso de las funciones R-diferenciables de dos variables reales, enunciado de la equivalencia de la C-diferenciabilidad con la R-diferenciabilidad junto con las ecuaciones de Cauchy-Riemann; fórmula para la derivada en términos de las partes real e imaginaria de la función.
  Clase 19, J, 27/02: Demostración del enunciado del día anterior. Ejemplos con las ecuaciones de Cauchy-Riemann; la definición formal de la función exponencial a través de la exponencial real y la fórmula de Euler. Hoja 2: problema 24, comentarios sobre las elipses, hipérbolas y lemniscatas.
  Clase 20, L, 02/03: Dominios en el plano y en el plano extendido, ejemplos. Teorema: un dominio plano es conexo por líneas poligonales con todos los lados horizontales o verticales. Aplicación: toda función con derivada nula en un dominio, es constante. Ejercicios de la hoja 2: 28, 29. a).
  Clase 21, M, 03/03: Ejercicios de la hoja 3: 32, 34, 36, 38. a), comentarios generales sobre algunos temas.
  Clase 22, X, 04/03: Ejercicios de la hoja 3: 38. b), 40, repaso de 41, 42. Comentarios adicionales y correcciones de algunas erratas de las últimas clases.
  Clase 23, J, 05/03: Primer examen parcial: Módulo 09, aula 206, con comienzo a las 9:15 y duración de una hora.
  Clase 24, L, 09/03: Funciones armónicas, ejemplos, holomorfía implica armonicidad, relación con las partes real e imaginaria de una función holomorfa. Dominios simplemente conexos, ejemplos; conjugada compleja, enunciado del teorema de su existencia y unicidad (salvo una constante) en dominios simplemente conexos.
  Clase 25, M, 10/03: Idea de la demostración del resultado sobre la conjugada armónica en un dominio simplemente conexo, ejemplos relevantes. Series de potencias: ejemplos, análisis de su convergencia: disco de convergencia.
  *** Desde el X, 11/03 (hasta nuevo aviso): Interrupción de clases, debido a las medidas extraordinarias frente al COVID-19 ***
*****************************************************************************************************************************************************************************************************************
  ESTIMACIÓN ORIENTATIVA DE LAS HORAS EMPLEADAS POR TEMAS Y ENTREGAS DE APUNTES (docencia no presencial):

  Apuntes sobre sucesiones y series de potencias en TeX, más los materiales fotografiados por el profesor J.P. Moreno.
Estos apuntes, en su parte inicial, cubren el material visto en las clases 14, 15 y 16, antes del primer parcial (las primeras 4 páginas).
El resto de los apuntes (páginas 5-20) cubre el material visto en la clase 25, además de los siguientes temas. A continuación presentamos una estimación de lo que hubieran sido las horas de clase si se hubiesen dado de forma presencial.  
Clase 26, X, 11/03; Clase 27, J, 12/03; Clase 28, L, 16/03; Clase 29, M, 17/03 y Clase 30, X, 18/03: Demostración completa del teorema de Abel. Radio de convergencia; fórmulas de Cauchy-Hadamard (raíz) y de Hadamard (cociente), ejemplos. Comportamiento de una serie en el borde del disco de convergencia, uso del criterio de convergencia de Abel-Dirichlet de una serie. Operaciones algebraicas con series de potencias: suma y producto de Cauchy, teorema de Mertens, ejemplos. Diferenciación de series de potencias, ejemplos. Algunas funciones elementales: la función exponencial, propieades relativas a la multiplicación y diferenciación, demostración de la igualdad entre 3 fórmulas distintas para la función exponencial (serie de potencias, a través de la fórmula de Euler y como límite de una sucesión compleja), Las funciones seno y coseno compleja, primeras propiedades (derivación, desarrollo en serie, ceros). El problema inverso: desarrollo de algunas funciones holomorfas sencillas en series de potencias. Varios ejercicios de la hoja 4.

   Apuntes sobre las funciones logarítmo, raíces y potencias y función inversa (8 páginas):
Clase 31, J, 19/03; Clase 32, L, 23/03: Logaritmos y potencias de números complejos. El logaritmo, las raíces y potencias como funciones continuas en dominios reducidos (plano con un corte). Teorema de la función inversa: aplicaciones al logaritmo, las raíces y el arco coseno. Ejemplos. Ejercicios de la hoja 5.

   Apuntes sobre las integrales de línea y sus propiedades básicas (10 páginas):
Clase 33, M, 24/03; Clase 34, X, 25/03; Clase 35, J, 26/03: Repaso detallado de curvas en el plano, en notación compleja: parametrizaciones (caminos), curvas, trazas, curvas suaves y suaves a trozos, cambio de parametrización, longitud. Integrales de línea complejas: primeras propiedades y ejemplos. Estimaciones de integrales complejas, algunos lemas y proposiciones útiles para los próximos temas. Ejemplos. Ejercicios de la hoja 6.

   Apuntes sobre la fórmula integral de Cauchy, analiticidad y aplicaciones (14 páginas):
Clase 36, L, 30/03; Clase 37, M, 31/03, Clase 38: X, 01/04; Clase 39, J, 02/04, Clase 40, M, 14/04, Clase 41, X, 15/04: Teorema integral de Cauchy -versión básica para las circunferencias, ejemplos. Holomorfía es equivalente a la analiticidad: desarrollo de funciones holomorfas en series de potencias, unicidad de los coeficientes de Taylor, algunas ecuaciones funcionales, ejemplos.  Teorema de Liouville y estimaciones de Cauchy para las funciones enteras, ejemplos, teorema fundamental del álgebra. Ejercicios adicionales de la hoja 6. Simulacro del segundo parcial (Moodle).

   Apuntes sobre el teorema integral de Cauchy y la función primitiva (+ lectura complementaria: apuntes del Prof. A. Sánchez-Calle):
Clase 42, J, 16/04; Clase 43, L, 20/04; Clase 44, M, 21/04; Clase 45, X, 22/04; Clase 46, J, 23/04; Clase 47, L, 27/04: Fórmula de Green, teorema integral de Cauchy, ejemplos. Función primitiva de una función holomorfa en un dominio simplemente conexo, independencia de la integración del camino en ciertas situaciones relacionadas con funciones analíticas, índice de un punto respecto de una curva, ejemplos. Fórmula integral de Cauchy para contornos arbitrarios, aplicaciones en ejemplos, integral de Poisson. Explicaciones de las diferencias entre la ruta seguida en este curso y la que sigue la mayoría de los textos. Teorema de Morera. El gran teorema acerca de los dominios simplemente conexos. Ceros de las funciones analíticas, orden (multiplicidad) de un cero, principio de los ceros aislados y el teorema de la unicidad. Ejemplos. Ejercicios de la hoja 7.

   Apuntes sobre las singularidades aisladas y residuos + segundo examen parcial:
Clase 48, M, 28/04;  Clase 49, X,  29/04; Clase 51, L, 04/05, Clase 52, M, 05/05, Clase 53, X, 06/05: Singularidades aisladas de funciones analíticas, clasificación. Comportamiento cerca de una singularidad aislada: teorema de la singularidad evitable de Riemann, teorema de Casorati-Weierstrass, orden de un polo. Residuos, cálculo de residuos, series de  Laurent, ejemplos. Teorema de los residuos (generalización de la fórmula integral de Cauchy), aplicaciones cuantitavias (cálculo de integrales reales). Ejerciciosde la hoja 8.
   Clase 50, J, 30/04: segundo examen parcial (a través de Moodle).

  Apuntes sobre las aplicaciones cuantitativas del teorema de los residuos:
Clase 54, J, 07/05; Clase 55, L, 11/05; Clase 56, M, 12/05; Clase 57, X, 13/05; Clase 58, J, 14/05: Principio del argumento, teorema de Rouché, ejemplos y ejercicios. Teorema de la aplicación abierta, principio del módulo máximo (dos versiones), ejercicios. Lema de Schwarz, automorfismos del disco, ejemplos y ejercicios. Idea de aplicacionesc conformes.Ejercicios de la hoja 9. Repaso. Preparativos para el tercer parcial.