Clase 1, L, 09/09/2019: Introducción y presentación de los contenidos de la asignatura. Bibliografía. Método de evaluación. Consejos para estudiar. Lógica elemental. Afirmaciones, proposiciones. Negación; tabla de verdad.
  Clase 2, M, 10/09/2019: Operaciones con dos o más afirmaciones: A y B, A o B, implicaciones, equivalencias y sus tablas de verdad. Condición necesaria, condición suficiente, implicación recíproca, condición necesaria y suficiente, ejemplo de una condición necesaria y suficiente para la divisibilidad por 15). Tautologías, contraposiciones.
  Clase 3, X, 11/09/2019: Más ejemplos de tautologías: conmutatividad de A y B, A o B, modus ponens y algunas consecuencias. Cuantificadores: para todo, existe; negaciones de proposiciones con cuantificadores. Los resultados matemáticos: proposiciones, lemas, teoremas, corolarios. Métodos de demostración. Ejemplos de demostraciones directas.
  Clase 4, J, 12/09/2019:  Un cuantificador especial: existe un único x. Más ejemplos de demostraciones directas; suma de los primeros n impares. Demostraciones Indirectas. Demostración por contraposición: irracionalidad de un número a partir de la irracionalidad de la raíz de 2. Demostraciones por reducción al absurdo. Ejemplos: irracionalidad de la raíz de 2 y de las raíces de los números naturales que no son cuadrados; existen infinitos primos.
  Clase 5: L, 16/09/2019: Afirmaciones sobre los números naturales; inducción matemática. Ejemplos: demostraciones de igualdades, desigualdades, afirmaciones sobre la divisibilidad. Inducción que empieza con otra base, distinta de 1.
  Clase 6: M, 17/09/2019: Sobre la necesidad de tener una base inductiva, inducción empírica. Otras formas más fuertes de la inducción: inducción recurrente (de varios valores de n al siguiente) y transfinita (o fuerte). Ejemplos: cos (nx) es un polinomio de grado n de cos x; todo número natural >2 es producto de primos.
  Clase 7: X, 18/09/2019: Aclaración de los conceptos de ejemplo y contraejemplo (de un tema anterior). Conjuntos, formas de especificar un conjunto, ejemplos, diagramas de Venn. Conjunto vacío. Pertenencia de un elemento a un conjunto, inclusión entre dos conjuntos, notación, igualdad entre dos conjuntos.
  Clase 8, J, 19/09/2019: Propiedades básicas de la inclusión. Ejemplos de conjuntos que tienen otros conjuntos como elementos. Operaciones con conjuntos: unión, intersección; caracterzación de la relación de inclusión entre dos conjuntos a través de su intersección y su unión.
  Clases 9--12 (semana del L 23/09 hasta el J 26/09): impartidas por el profesor Luis Guijarro. Propiedades adicionales de las intersecciones y uniones (asociativa, conmutativa, distributiva), uniones e intersecciones de una cantidad finita o infinita de conjuntos, diferencia de dos conjuntos. La paradoja de Russell, conjunto universal. Complementario y sus propiedades, las leyes de de Morgan,  mención de las álgebras de Boole. El conjunto de partes de un conjunto, ejemplos. Los números combinatorios y su significado (combinaciones): número de subconjuntos de k elementos de un conjunto de n elementos, algunas propiedades relativas a la suma de números combinatorios, fórmula del binomio de Newton y una idea para demostrarla por inducción.
  Clase 13, L, 30/09/2019: Fórmula para los números combinatorios en términos de factoriales. Cardinalidad del conjunto de las partes de un conjunto finito, como corolario de la fórmula del binomio de Newton. Aclaración del concepto de conjuntos disjuntos (del tema anterior). Producto cartesiano de dos conjuntos, ejemplos, propiedades.
  Clase 14, M, 01/10/2019: Demostración de una propiedad del producto cartesiano. Concepto de  función, ejemplos, dominio, conjunto de llegada, gráfica de una función, restricción. Imagen de un conjunto por una función. Funciones suprayectivas, funciones inyectivas, ejemplos.
  Clase 15, X, 02/10/2019: Más ejemplos, funciones biyectivas. Restricción (del dominio) como forma de hacer de una función otra inyectiva; reducción del conjunto de llegada como forma de hacer de una función otra suprayectiva. Preimagen de un conjunto por una función; propiedades de la imagen y de la preimagen respecto a las inclusiones, uniones e intersecciones, ejemplos.
  Clase 16, J, 03/10/2019: Composición de dos funciones, ejemplos, la no conmutatividad de la composición. Función inversa de una función biyectiva, ejemplos: funciones raíz cuadrada y arco seno.   Clase 17, L, 07/10/2019: De vuelta a la combinatoria: principio del palomar, ejemplos; principio de inclusión-exclusión, ejemplos.
  Clase 18, M, 08/10/2019: Relaciones binarias: definición, ejemplos y propiedades típicas: reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva. Relaciones de orden; orden total, orden parcial. Ejemplos: orden habitual en los reales, inclusión entre conjuntos, divisibilidad. Elementos mínimos y máximos, ejemplos.
  Clase 19, X, 09/10/2019: Elementos minimales y maximales. Ejemplos de conjuntos parcialmente ordenados con más de un elemento maximal pero sin elementos máximos y con sólo un elemento maximal pero sin máximos y similares. Cotas superiores e inferiores, un ejemplo, conjuntos acotados superior e inferiormente.
  Clase 20, J, 10/10/2019: Supremo e ínfimo, más ejemplos en conjuntos parcialmente ordenados. Supremos e ínfimos de conjuntos en la recta real. (Algunos ejemplos son ejercicios de la Hoja 3.) Repaso de algunos ejercicios de la lista 2.
  Clase 21, L, 14/10/2019: Relaciones de equivalenca, ejemplos, clases de equivalencia. Repaso de algunos ejercicios de la lista 2.
  Clase 22, M, 15/10/2019: Familias indexadas, uniones generales. Particiones de un conjunto. Las clases de equivalencia inducen una partición del conjunto. Ejemplos. Ejercicios: Hoja 2.
  Clases 23 y 24, X, 16 y J 17/10/2019: Cada partición de un conjunto induce una relación de equivalencia. Proyección canónica y sus propiedades. Funciones definidas en el conjunto cociente; una relación de equivalencia asociada a una función y la correspondiente biyección. (Estos resultados resuelven algunos ejercicios de la Lista 4.) Ejemplos. Repaso: primer examen parcial del año 2018-19, algunos ejercicios de las listas 2 y 3.
  Primer examen parcial, V, 18/10/2019.
  Clases 25 y 26, L, 21/10/2019: Más comentarios sobre las funciones definidas en el conjunto cociente; ejemplos con congruencias. Equipotencia de dos conjuntos; propiedad: es una relación de equivalencia. Cardinales: clases de equivalencia de esta relación. Conjuntos finitos, conjuntos infinitos. Una propiedad de los conjuntos finitos: toda función del conjunto en sí mismo es inyectiva si y sólo si es sobreyectiva. Ejemplos que demuestran que un conjunto infinito puede ser equipotente a un subconjunto propio. Conjuntos numerables; cardinal alef-cero. Numerabilidad de los enteros, de los racionales positivos y de los racionales: demostraciones. Una relación de orden entre cardinales; comprobación de la reflexividad y transitividad.
  Clase 27, M, 22/10/2019: Enunciado y significado del teorema de Cantor-Schröder-Bernstein. La relación de desigualdad entre cardinales es una de orden total. Algunos comentarios generales sobre los axiomas de la teoría de conjuntos. Versión sencilla del axioma de elección. La minimalidad del cardinal alef-cero: cada conjunto infinito tiene un subconjunto numerable; todo subconjunto de un conjunto numerable es finito o numerable (con demostraciones).
  Clase 28, X, 23/10/2019: Equipotencia entre el conjunto de los reales y todo tipo de intervalos de la recta. Demostración de la no numerabilidad del intervalo (0,1) y, por tanto, de la recta y de todos los intervalos. La numerabilidad del producto cartesiano de dos conjuntos numerables. Varios ejemplos adicionales de conjuntos numerables y no numerables. 
  Clase 29, J, 24/10/2019: Reformulación y demostración del teorema de Cantor-Schröder-Bernstein. Más sobre cardinales infinitos: hipótesis del continuo (mención de trabajos de Gödel y Cohen). Correspondencia entre el conjunto de las partes de un conjunto y las funciones características de sus subconjuntos. Enunciado: el cardinal del conjunto de partes de un conjunto es más grande que el cardinal del conjunto inicial.
   Clase 30, L, 28/10/2019:  Demostración del enunciado del día anterior (sobre la cardinalidad del conjunto de partes); relaciones entre los cardinales del continuo y alef-cero. Teoría de números elemental: breve repaso del buen orden en N y de los principios del máximo y mínimo en Z. Operaciones binarias, ejemplos y propiedades básicas (asociatividad, conmutatividad, elemento neutro, elemento inverso de un elemento).
  Clase 31, M, 29/10/2019: Conceptos de grupo y grupo abeliano, ejemplos relacionados con Z y Q, anillo y anillo conmutativo con unidad, Z y Q como ejemplos. Propiedades de enteros relacionadas con la divisibilidad. Algoritmo de la división en Z.
  Clase 32, X, 30/10/2019: Máximo común divisor de dos enteros. Algoritmo de Euclides y dos lemas en los que se basa, ejemplos. Números coprimos (primos entre sí).
  Clase 33, J, 31/10/2019: Propiedad lineal del máximo común divisor (identidad de Bezout); corolario (para dos números coprimos), un ejemplo. Ecuaciones diofánticas. Existencia de soluciones. Las soluciones generales a partir de una solución particular. Ejemplo: expedición de billetes de dos tipos por un cajero automático.
  Clase 34, L, 04/11/2019: Un lema sobre la divisibilidad del producto de dos enteros y su corolario para los primos. Teorema fundamental de la aritmética: ejemplos y prueba de la unicidad (la prueba de la factorización ya se vio antes, en el tema de la inducción fuerte). Aplicación al cálculo del máximo común divisor. Mínimo común múltiplo de dos enteros y su cálculo usando el teorema fundamental de la aritmética.
  Clase 35, M, 05/11/2019: De vuelta a las congruencias módulo n; sistemas completos de restos módulo n.  Operaciones con congruencias: suma y multiplicación. Ejemplos. Corolarios: múltiplos y potencias. Criterios de divisibilidad por 9 y por 3.
  Clase 36, X, 06/11/2019: Más ejemplos de aplicaciones de las congruencias. El pequeño teorema de Fermat; un ejemplo relacionado. Otras ecuaciones diofánticas, las ternas pitagóricas y un poco de historia del último teorema de Fermat. Congruencias de dos enteros módulo varios números y el mínimo común múltiplo. Un corolario y una aplicación.
  Clase 37, J, 07/11/2019: Operaciones con clases de congruencias: propiedades algebraicas de Z_n - otro ejemplo de anillo conmutativo con unidad. Cuerpos: definición y ejemplos. Caso de n primo: existencia y unicidad del inverso para la multiplicación de cada elemento no nulo en Z_n. Ecuaciones con congruencias: planteamiento del problema y relación con ecuaciones diofánticas; enunciado.
  Clases 38 y 39: X, 13/11/2019: Demostración del resultado sobre las soluciones de la ecuación básica con congruencias. Ejemplos concretos. Aplicaciones: unidades (elementos invertibles en Z_n). Teorema chino del resto. Ejemplos de aplicaciones.
  Clase 40, J, 14/11/2019: La función "fi" de Euler y sus propiedades básicas. Sistemas reducidos de restos módulo m. Teorema de Euler. Ejemplos de aplicaciones.
  Clase 41, L, 18/11/2019: Motivación para extender varias estructuras conocidas: la necesidad de resolver ciertas ecuaciones naturales. Extensiones de los racionales; los racionales no tienen la propiedad del supremo. El enunciado del teorema de la existencia de los reales como extensión de Q con orden total y con la propiedad del supremo. Los números complejos: definición formal (con pares ordenados de números reales) y comprobación de varias propiedades.
   Clase 42, M, 19/11/2019: Comprobación de la existencia del inverso multiplicativo de un número complejo no nulo y de otras propiedades; C contiene una copia de R y un elemento que tiene la propiedad de la unidad imaginaria. Las partes real e imaginaria de un número complejo. El conjugado complejo y algunas de sus propiedades. Representaciones geométricas y simetrías (relacionadas al opuesto y al conjugado).
  Clase 43, X, 20/11/2019: Más propieades de la conjugación compleja, comprobaciones y ejemplos de sus aplicaciones. El módulo de un número complejo, sus propiedades y demostraciones. La desigualdad triangular y la desigualdad triangular invertida.
  Clase 44, J, 21/11/2019: Representación polar de un número complejo, argumento, fórmula de Euler. Ejemplos. Multiplicación de números complejos en forma polar, fórmula de A. de Moivre, ejemplos de aplicaciones.
  Clase 45, L, 25/11/2019: Raíces de números complejos, raíces de la unidad, interpretación geométrica. Ejemplos de cálculos de raíces, ejemplos combinados con de Moivre.
  Clase 46, M, 26/11/2019: Polinomios (con los coeficientes en un anillo conmutativo y con unidad). Operaciones con ellos: suma y producto. Ejemplos de operaciones en distintos anillos. El grado máximo de la suma y del producto; el grado del producto cuando el anillo es un cuerpo.
  Clase 47, X, 27/11/2019: Teorema: el conjunto de los polinomios es un anillo conmutativo y con unidad. División de dos polinomios con los coeficientes en un cuerpo: existencia del cociente y del  resto. Un ejemplo en Q[x].
  Clase 48, J, 28/11/2019: Unicidad del cociente y del resto. Otro ejemplo de división, en Z₅[x]. Divisibilidad de un polinomio por otro; propiedades básicas en K[x], K cuerpo. Máximo común divisor de dos polinomios.
  Clase 49, M, 03/12/2019: Algoritmo de Euclides, ejemplos de cálculo de máximo común divisor de dos polinomios. Polinomios coprimos; ejemplos. Condición para poder resolver una ecuación polinomial lineal (parecida a las diofánticas estudiadas antes); caso especial: identidad de Bezout para polinomios.
  Clase 50, X, 04/12/2019: Fórmula para las soluciones generales de una ecuación polinómica lineal y su demostración. Ejemplos de representación del máximo común divisor de dos polinomios dados como combinación polinómica lineal de dichos polinomios y de resolución explícita de una ecuación polinómica lineal. Funciones polinómicas (evaluación de un polinomio en un anillo).
  Clase 51, J, 05/12/2019: Teorema de Bezout (un corolario del algoritmo de la división de polinomios). Ejemplos. Ceros de un polinomio y su multiplicidad (orden). Ejemplos. Número máximo de ceros en el cuerpo K de un polinomio en K[x]. Ejemplos pertinentes.
  Clase 52, M, 10/12/2019: Diversos corolarios de la proposición del otro día (sobre el número máximo de ceros en el cuerpo K de un polinomio en K[x]. Comentarios sobre los polinomios y funciones polinómicas en Z_p[x]. Teorema fundamental del álgebra; ejemplos de factorización en factores lineales en C[x]. Raíces racionales de los polinomios en Z[x]: un criterio para acotar la búsqueda.
  Clase 53, X, 11/12/2019: Ejemplo de búsqueda de raíces racionales de un polinomio; comentarios relativos a las raíces racionales de los polinomios en Z[x] y en Q[x]. Polinomios reducibles e irreducibles: definición, comentarios y ejemplos. Reducibilidad de un polinomio de grado 2 ó 3 y coeficientes en un cuerpo. Criterios de irreducibilidad para polinomios en C[x] y en R[x].
  Clase 54, J, 12/12/2019:  El contenido de un polinomio con coeficientes enteros; polinomios primitivos. Observaciones y ejemplos. Reducibilidad en Z[x] y en Q[x]: lema de Gauss, otros resultados auxiliares, teorema  de Gauss. Criterio de Eisenstein (enunciado), un ejemplo.
  Clase 55, L, 16/12/2019 (impartida por F. Cantero, profesor del grupo de prácticas): Demostración del criterio de Eisenstein, más ejemplos de irreducibilidad y factorización de polinomios en Q[x] y C[x]. La derivada y la multiplicidad de un cero. Relación entre la reducibilidad en Z[x] y en Z_p[x],p primo. Repaso: un ejercicio de los exámenes parciales anteriores.
  Clase 56, M, 17/12/2019: Un ejercicio de otro examen parcial anterior. Repaso de ejemplos de factorización e irreducibilidad; criterios de reducibilidad módulo p (p primo). De vuelta al axioma de elección; función de elección. Idea de algunas aplicaciones. Conjuntos bien ordenados y el teorema de Zermelo (enunciado).
  Clase 57, X, 18/12/2019: Cadenas en conjuntos parcialmente ordenados, elementos maximales. Principio de maximalidad de Hausdorff y Lema de Zorn: enunciados. Esquema de la demostración de la equivalencia entre Axioma de elección, Zermelo, Hausdorff y Zorn y demostraciones de que el Principio de Hausdorff implica el Lema de Zorn y el Lema de Zorn implica el Axioma de elección.
  Clases 58 y 59, J, 19/12/2019: Tercer examen parcial (en clase).