La ``medicina alternativa’’ es toda práctica que afirma tener un efecto sanador sin justificar esta afirmación mediante pruebas científicas, por lo que su efectividad puede ser debida simplemente al efecto placebo. The Lancet (2005) publicó los resultados de un estudio en que se comprobaban la efectividad de dos tipos de tratamientos alternativos: música, imágenes y tacto (MIT) frente a oración terapéutica (OT), en enfermos cardíacos que se recuperaban de una intervención. Se asignó aleatoriamente a los pacientes a uno de los cuatro siguientes tipos de tratamiento: (1) OT, (2) MIT, (3) OT y MIT y (4) cuidados estándar (no OT y no MIT). Seis meses después del comienzo del estudio, se evaluó si los pacientes habían sufrido algún episodio cardiovascular grave (por ejemplo, un ataque al corazón). Los resultados (en frecuencias absolutas de pacientes) aparecen en la siguiente tabla:

Terapia	Episodio cardiovascular grave	Sin eventos reseñables	Total
OT	43	139	182
MIT	47	138	185
OT y MIT	39	150	189
Estándar	50	142	192
Total	179	569	748

(a) Identifica las dos variables cualitativas (y sus posibles valores) que intervienen en el estudio.
(b) A nivel \(\alpha =0.05\), ¿hay relación entre el tipo de terapia y el hecho de que sufra o no un episodio cardiovascular de gravedad?
(c) Consideremos sólo los pacientes que sí sufrieron episodios cardiovasculares graves. A nivel \(\alpha=0.01\), ¿hay evidencia muestral de que no se asignaran uniformemente a los tipos de terapia?

Solución:

(a) Una de las variables es \(X\) = “Tipo de tratamiento”, que puede tomar los siguiente cuatro valores: OT, MIT, OT y MIT, estándar. La otra variable es \(Y\), binaria, que indica si el paciente ha sufrido o no en los seis meses siguientes al tratamiento un episodio cardiovascular grave.

(b) A nivel \(\alpha =0.05\), planteamos el contraste \[ \begin{array}{ll} H_0: & X \mbox{ e } Y \mbox{ son independientes} \\ H_1: & X \mbox{ e } Y \mbox{ son dependientes} \end{array} \] Lo resolvemos como un contraste \(\chi^2\), con región de rechazo \(R = \{ \chi^2 > \chi^2_{(4-1)(2-1);0.05} = \chi^2_{3;0.05} = 7.81 \}\), siendo el estadístico del contraste \(\chi^2 = \sum_{i=1}^4\sum_{j=1}^2 o_{ij}^2/\hat e_{ij} - 748\). Para calcularlo, escribimos la tabla de frecuencias esperadas estimadas \(\hat e_{ij}\):

Terapia	Episodio cardiovascular grave	Sin eventos reseñables
OT	\(\hat e_{11}= \frac{182\cdot179}{748} = 43.55\)	\(\hat e_{21}= \frac{182\cdot569}{748} = 138.45\)
MIT	\(\hat e_{12}= \frac{185\cdot179}{748} = 44.27\)	\(\hat e_{22}= \frac{569\cdot185}{748} = 140.73\)
OT y MIT	\(\hat e_{13}= \frac{189\cdot179}{748} = 45.23\)	\(\hat e_{23}= \frac{569\cdot189}{748} = 143.77\)
Estándar	\(\hat e_{14}= \frac{192\cdot179}{748} = 45.95\)	\(\hat e_{24}= \frac{569\cdot192}{748} = 146.05\)

Como \(\chi^2=1.828<7.81\), no tenemos suficiente evidencia muestral para rechazar \(H_0\). Consideraremos que las dos variables son independientes, es decir, que las terapias de medicina alternativa no parecen tener influencia (ni positiva ni negativa) sobre la evolución a corto plazo del paciente.

Para resolverlo con R:

Datos <- matrix(c(43,47,39,50,139,138,150,142),nrow=4)
chisq.test(Datos)

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  Datos
## X-squared = 1.828, df = 3, p-value = 0.6089

(c) A nivel \(\alpha=0.01\), queremos realizar el contraste \(H_0:\) \(X\sim\mbox{Uniforme}\) frente a \(H_1:\) \(X\nsim\mbox{Uniforme}\). Bajo \(H_0\), las probabilidades de \(X\) son: \[ p_1 = \mathbb P(\mbox{OT}) = 1/4 \quad p_2 = \mathbb P(\mbox{MIT}) = 1/4 \quad p_3 = \mathbb P(\mbox{OT y MIT}) = 1/4 \quad p_4 = \mathbb P(\mbox{estándar}) = 1/4 \] y las frecuencias absolutas esperadas \(e_i = 179/4 = 44.75\). La región de rechazo del contraste es \(R = \{ \chi^2>\chi^2_{3;0.01} = 11.34 \}\), siendo \[ \chi^2 = \sum_{i=1}^4 o_{i}^2/e_{i} - 179 = 1.54. \] No rechazamos \(H_0\) a nivel 0.01.

Con R:

chisq.test(Datos[,1])

## 
##  Chi-squared test for given probabilities
## 
## data:  Datos[, 1]
## X-squared = 1.5363, df = 3, p-value = 0.6739