Se desea contrastar la hipótesis nula de que una muestra aleatoria simple de tamaño \(n\) procede de una distribución uniforme en el intervalo [0,1] frente a la hipótesis alternativa de que procede de una distribución con función de densidad \(f(x) = 2x\), si \(0 \leq x \leq 1\).

(a) Si \(n = 1\), es decir, se dispone de una única observación, calcula la región crítica del contraste uniformemente más potente de nivel 0.05.

(b) ¿Cuál es la probabilidad de error de tipo II de este contraste?

(c) Si \(n = 12\) y \(\sum_{i=1}^{12} \log x_i = -4.5\), ¿qué decisión hay que tomar de acuerdo con el contraste uniformemente más potente de nivel \(\alpha = 0.05\)?

Solución:

Podemos expresar la densidad del modelo paramétrico general que engloba las hipótesis nulas y alternativa así: \[ f(x;\theta) = 1-\frac{\theta}{2}+\theta x, \quad \mbox{para } 0\leq x\leq 1. \] Entonces el contraste es: \[\begin{eqnarray} H_0: & & \theta = 0 \\ H_1: & & \theta = 2. \end{eqnarray}\]

(a) El lema de Neyman-Pearson proporciona la región de rechazo del contraste uniformemente más potente: \[ R = \left\{ \frac{f(x_1;2)}{f(x_1;0)} =2 x_1 > k_\alpha \right\} \quad \mbox{con} \quad \mathbb P_{\theta=0}(R)=\alpha. \] \[ \alpha = \mathbb P_{\theta=0}\{ 2 X_1 > k_\alpha \} = 1 - \frac{k_\alpha}{2} \Rightarrow k_\alpha = 2(1-\alpha) \Rightarrow R = \{ x_1>1-\alpha \}. \] Si \(\alpha=0.05\), entonces \(R = \{ x_1>0.95 \}\).

(b) La probabilidad del error de tipo II (no rechazar la hipótesis nula cuando es falsa) es \[ \mathbb P_{\theta=2}\{ X_1 \leq 0.95 \} = \int_0^{0.95} 2x \, dx = 0.95^2 = 0.9025. \]

(c) Por el lema de Neyman-Pearson, la región de rechazo del contraste uniformemente más potente es \[ R = \left\{ 2^{12} \prod_{i=1}^{12} x_i > k_\alpha \right\}, \] donde \[ \alpha = \mathbb P_{\theta=0}(R) = \mathbb P_{\theta=0} \left\{ \prod_{i=1}^{12} X_i > \frac{k_\alpha}{2^{12}} \right\} = \mathbb P_{\theta=0} \left\{ -\sum_{i=1}^{12} \log X_i < - \log k_\alpha + 12 \log 2 \right\}. \] Ahora observemos que, si \(X\sim \mbox{Unif}[0,1]\), entonces \(Y=-\log X\sim\exp(1)\): \[ \mathbb P \{ Y\leq y \} = \mathbb P \{ -\log X \leq y \} = \mathbb P \{ X\geq e^{-y}\} = 1-e^{-y}. \] La distribución exponencial de parámetro 1 es una distribución gamma(1,1). Por tanto, \(-\sum_{i=1}^{12} \log X_i\) sigue una distribución gamma(1,12) y \(-2\sum_{i=1}^{12} \log X_i \sim \chi^2_{24}\). En consecuencia, \[ R = \left\{ -2\sum_{i=1}^{12} \log X_i < \chi^2_{24,1-\alpha} \right\}. \] Si \(\alpha=0.05\), se tiene \(\chi^2_{24,0.95} = 13.85\), por lo que se rechaza \(H_0\).