Se desea estudiar la influencia de la hipertensión en los padres sobre la presión sanguínea de los hijos. Para ello se seleccionan dos grupos de niños, unos con padres de presión sanguínea normal (grupo 1) y otros con uno de sus padres hipertenso (grupo 2), obteniéndose las siguientes presiones sistólicas: \[ \begin{array}{c|rrrrrrrrrr} \mbox{Grupo 1} & 104 & 88 & 100 & 98 & 102 & 92 & 96 & 100 & 96 & 96 \\ \hline \mbox{Grupo 2} & 100 & 102 & 96 & 106 & 110 & 110 & 120 & 112 & 112 & 90 \end{array} \] Halla un intervalo de confianza para la diferencia de medias, suponiendo que la distribución de la presión sistólica es normal y que las varianzas en las dos poblaciones de niños son iguales .

Solución:

Sean \(X\) e \(Y\) las presiones sistólicas en un niño del grupo 1 y en uno del grupo 2 respectivamente. Suponemos que \(X\sim N(\mu_1,\sigma)\) e \(Y\sim N(\mu_2,\sigma))\) y que \(X\) e \(Y\) son independientes entre sí. Nos piden \[ \mbox{IC}_{1-\alpha}(\mu_1-\mu_2) = \left( \bar x-\bar y \mp t_{m+n-2;\alpha/2} s_p \sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}} \right). \] Elegimos \(1-\alpha=0.95\). Utilizamos \(n=10\), \(\bar x= 97.2\), \(\bar y = 105.8\), \(s_1^2= 22.4\), \(s_2^2=78.62\), \(s_p^2 = 50.51\) y \(t_{18;0.025}=2.101\). Obtenemos \[ \mbox{IC}_{1-\alpha}(\mu_1-\mu_2) = \left(-8.6 \mp 6.68 \right) = (-15.28,-1.92). \]

Con R

X = c(104, 88, 100, 98, 102, 92, 96, 100, 96, 96)
Y = c(100, 102, 96, 106, 110, 110, 120, 112, 112, 90)
t.test(X,Y,var.equal=TRUE)

## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  X and Y
## t = -2.7058, df = 18, p-value = 0.01447
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -15.277569  -1.922431
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##      97.2     105.8