Ejemplo de una función de potencia de un test

Para entender cómo es una función de potencia podemos calcular su expresión en un caso muy sencillo. Supongamos que tenemos una muestra \(X_1,\ldots,X_n\) de una N(\(\mu\),\(\sigma\)), con \(\sigma\) conocido, por ejemplo, tomemos \(\sigma=1\). Planteamos el contraste bilateral (es decir, con hipótesis nula simple) \[ \begin{array}{ll} H_0: & \mu=0 \\ H_1: & \mu\neq 0 \end{array} \] La región de rechazo habitual es \[ R = \{(x_1,\ldots,x_n): |z| >z_{\alpha/2} \}, \] siendo el estadístico del contraste \[ z = \frac{\bar x}{1/\sqrt{n}}. \] La función de potencia es la función que, a cada \(\mu\in\mathbb R\) le asigna la probabilidad de rechazar \(H_0\) cuando \(X\sim N(\mu,1)\): \[\begin{eqnarray*} \beta_n(\mu) = {\mathbb P}_{\mu}(R) & = & {\mathbb P}_{\mu} \left\{ \left|\frac{\bar X}{1/\sqrt{n}}\right|>z_{\alpha/2} \right\} = {\mathbb P}_{\mu} \left\{ \frac{\bar X}{1/\sqrt{n}}>z_{\alpha/2} \right\} + {\mathbb P}_{\mu} \left\{ \frac{\bar X}{1/\sqrt{n}} < -z_{\alpha/2} \right\} \\ & = & {\mathbb P}_{\mu} \left\{ \frac{\bar X-\mu}{1/\sqrt{n}} > z_{\alpha/2} - \frac{\mu}{1/\sqrt{n}} \right\} + {\mathbb P}_{\mu} \left\{ \frac{\bar X-\mu}{1/\sqrt{n}} < -z_{\alpha/2} - \frac{\mu}{1/\sqrt{n}} \right\} \\ & = & {\mathbb P} \left\{ Z > z_{\alpha/2} - \frac{\mu}{1/\sqrt{n}} \right\} + {\mathbb P}_{\mu} \left\{ Z < -z_{\alpha/2} - \frac{\mu}{1/\sqrt{n}} \right\} , \end{eqnarray*}\] donde \(Z\sim N(0,1)\).

Vamos a hacer una representación gráfica de la función de potencia para distintos valores de \(n\). sin pérdida de generalidad, fijamos un \(\alpha=0.05\), con lo que \[ \beta_n(\mu) = {\mathbb P} \{ Z > 1.96 - \sqrt{n}\mu \} + {\mathbb P}_{\mu} \{ Z < -1.96 - \sqrt{n}\mu \}. \] Programamos esta función de potencia:

PotenciaTest <- function(mu,n,alpha=0.05){
  cuantil <- qnorm(alpha/2,lower.tail = FALSE)
  beta_n_mu <- pnorm(cuantil-mu*sqrt(n),lower.tail = F) + pnorm(-cuantil-mu*sqrt(n)) 
}

Dibujamos la función de potencia para una malla de \(\mu\)’s y distintos valores de \(n\). Cuanto mayor es \(n\), más oscuro es el color.

mu <- seq(-2,2,0.01)
I = 1
nvec <- c(10,30,50,100,500)
plot(c(0,0),col="white",xlim=c(min(mu),max(mu)),ylim=c(0,1),ylab="",xlab="")
for (n in nvec){
beta <- PotenciaTest(mu,n)
I <- I-1/length(nvec)
lines(mu,beta,col=rgb(I,0,0))
}
abline(h=0.05,col="gray",lty=2)
abline(h=0,col="black")

Si planteamos el contraste unilateral \[ \begin{array}{ll} H_0: & \mu\geq 0 \\ H_1: & \mu< 0 \end{array} \] la región de rechazo habitual es \[ R = \{(x_1,\ldots,x_n): z < -z_{\alpha} \}. \] La función de potencia de este test es \[\begin{eqnarray*} \beta_n(\mu) = {\mathbb P}_{\mu}(R) & = & {\mathbb P}_{\mu} \left\{ \frac{\bar X}{1/\sqrt{n}}<-z_{\alpha} \right\} = {\mathbb P}_{\mu} \left\{ \frac{\bar X-\mu}{1/\sqrt{n}} <-z_{\alpha} - \frac{\mu}{1/\sqrt{n}} \right\} \\ & = & {\mathbb P}_{\mu} \left\{ Z < -z_{\alpha} - \frac{\mu}{1/\sqrt{n}} \right\} = {\mathbb P}_{\mu} \left\{ Z < -z_{\alpha} - \sqrt{n}\mu \right\}. \end{eqnarray*}\]

También podemos programar esta función de potencia:

PotenciaTestUnilateral <- function(mu,n,alpha=0.05){
  cuantil <- qnorm(alpha,lower.tail = FALSE)
  beta_n_mu <- pnorm(-cuantil-mu*sqrt(n)) 
}

Dibujamos la función de potencia para una malla de \(\mu\)’s y distintos valores de \(n\). Cuanto mayor es \(n\), más oscuro es el color.

mu <- seq(-2,2,0.01)
I = 1
nvec <- c(10,30,50,100,500)
plot(c(0,0),col="white",xlim=c(min(mu),max(mu)),ylim=c(0,1),ylab="",xlab="")
for (n in nvec){
beta <- PotenciaTestUnilateral(mu,n)
I <- I-1/length(nvec)
lines(mu,beta,col=rgb(I,0,0))
}
abline(h=0.05,col="gray",lty=2)
abline(h=0,col="black")

Observemos que, en ambos contrastes, para todo \(\mu\) de la hipótesis alternativa, \[ \beta_n(\mu) \xrightarrow[n\to\infty]{} 1. \]