Para entender cómo es una función de potencia podemos calcular su expresión en un caso muy sencillo. Supongamos que tenemos una muestra \(X_1,\ldots,X_n\) de una N(\(\mu\),\(\sigma\)), con \(\sigma\) conocido, por ejemplo, tomemos \(\sigma=1\). Planteamos el contraste bilateral (es decir, con hipótesis nula simple) \[ \begin{array}{ll} H_0: & \mu=0 \\ H_1: & \mu\neq 0 \end{array} \] La región de rechazo habitual es \[ R = \{(x_1,\ldots,x_n): |z| >z_{\alpha/2} \}, \] siendo el estadístico del contraste \[ z = \frac{\bar x}{1/\sqrt{n}}. \] La función de potencia es la función que, a cada \(\mu\in\mathbb R\) le asigna la probabilidad de rechazar \(H_0\) cuando \(X\sim N(\mu,1)\): \[\begin{eqnarray*} \beta_n(\mu) = {\mathbb P}_{\mu}(R) & = & {\mathbb P}_{\mu} \left\{ \left|\frac{\bar X}{1/\sqrt{n}}\right|>z_{\alpha/2} \right\} = {\mathbb P}_{\mu} \left\{ \frac{\bar X}{1/\sqrt{n}}>z_{\alpha/2} \right\} + {\mathbb P}_{\mu} \left\{ \frac{\bar X}{1/\sqrt{n}} < -z_{\alpha/2} \right\} \\ & = & {\mathbb P}_{\mu} \left\{ \frac{\bar X-\mu}{1/\sqrt{n}} > z_{\alpha/2} - \frac{\mu}{1/\sqrt{n}} \right\} + {\mathbb P}_{\mu} \left\{ \frac{\bar X-\mu}{1/\sqrt{n}} < -z_{\alpha/2} - \frac{\mu}{1/\sqrt{n}} \right\} \\ & = & {\mathbb P} \left\{ Z > z_{\alpha/2} - \frac{\mu}{1/\sqrt{n}} \right\} + {\mathbb P}_{\mu} \left\{ Z < -z_{\alpha/2} - \frac{\mu}{1/\sqrt{n}} \right\} , \end{eqnarray*}\] donde \(Z\sim N(0,1)\).
Vamos a hacer una representación gráfica de la función de potencia para distintos valores de \(n\). sin pérdida de generalidad, fijamos un \(\alpha=0.05\), con lo que \[ \beta_n(\mu) = {\mathbb P} \{ Z > 1.96 - \sqrt{n}\mu \} + {\mathbb P}_{\mu} \{ Z < -1.96 - \sqrt{n}\mu \}. \] Programamos esta función de potencia:
PotenciaTest <- function(mu,n,alpha=0.05){
cuantil <- qnorm(alpha/2,lower.tail = FALSE)
beta_n_mu <- pnorm(cuantil-mu*sqrt(n),lower.tail = F) + pnorm(-cuantil-mu*sqrt(n))
}
Dibujamos la función de potencia para una malla de \(\mu\)’s y distintos valores de \(n\). Cuanto mayor es \(n\), más oscuro es el color.
mu <- seq(-2,2,0.01)
I = 1
nvec <- c(10,30,50,100,500)
plot(c(0,0),col="white",xlim=c(min(mu),max(mu)),ylim=c(0,1),ylab="",xlab="")
for (n in nvec){
beta <- PotenciaTest(mu,n)
I <- I-1/length(nvec)
lines(mu,beta,col=rgb(I,0,0))
}
abline(h=0.05,col="gray",lty=2)
abline(h=0,col="black")
Si planteamos el contraste unilateral \[ \begin{array}{ll} H_0: & \mu\geq 0 \\ H_1: & \mu< 0 \end{array} \] la región de rechazo habitual es \[ R = \{(x_1,\ldots,x_n): z < -z_{\alpha} \}. \] La función de potencia de este test es \[\begin{eqnarray*} \beta_n(\mu) = {\mathbb P}_{\mu}(R) & = & {\mathbb P}_{\mu} \left\{ \frac{\bar X}{1/\sqrt{n}}<-z_{\alpha} \right\} = {\mathbb P}_{\mu} \left\{ \frac{\bar X-\mu}{1/\sqrt{n}} <-z_{\alpha} - \frac{\mu}{1/\sqrt{n}} \right\} \\ & = & {\mathbb P}_{\mu} \left\{ Z < -z_{\alpha} - \frac{\mu}{1/\sqrt{n}} \right\} = {\mathbb P}_{\mu} \left\{ Z < -z_{\alpha} - \sqrt{n}\mu \right\}. \end{eqnarray*}\]
También podemos programar esta función de potencia:
PotenciaTestUnilateral <- function(mu,n,alpha=0.05){
cuantil <- qnorm(alpha,lower.tail = FALSE)
beta_n_mu <- pnorm(-cuantil-mu*sqrt(n))
}
Dibujamos la función de potencia para una malla de \(\mu\)’s y distintos valores de \(n\). Cuanto mayor es \(n\), más oscuro es el color.
mu <- seq(-2,2,0.01)
I = 1
nvec <- c(10,30,50,100,500)
plot(c(0,0),col="white",xlim=c(min(mu),max(mu)),ylim=c(0,1),ylab="",xlab="")
for (n in nvec){
beta <- PotenciaTestUnilateral(mu,n)
I <- I-1/length(nvec)
lines(mu,beta,col=rgb(I,0,0))
}
abline(h=0.05,col="gray",lty=2)
abline(h=0,col="black")
Observemos que, en ambos contrastes, para todo \(\mu\) de la hipótesis alternativa, \[ \beta_n(\mu) \xrightarrow[n\to\infty]{} 1. \]