Sea una muestra de v.a.i.i.d. \(X_1,\ldots,X_n\) de una v.a. \(X\) con función de distribución \(F\). Entonces la función de distribución del máximo de la muestra \(X_{(n)}\) es \(F_{X_{(n)}}(x)=(F(x))^n\).

Comprobémoslo con simulaciones. Empezamos con una \(X\) uniforme en [0,1].

n <- 10 # Tamaño muestral
N <- 500 # Número de simulaciones
Mx <- rep(0,N) 
for (i in 1:N){
  Muestra <- runif(n)
  Mx[i] <- max(Muestra)
}
t <- seq(-0.05,1.05,0.01)
Funif <- punif(t)
FnMx <- ecdf(Mx)
plot(t,Funif^n,col="red",type="l")
plot(FnMx,add=TRUE,do.points=F)

Ahora con una \(X\) N(0,1):

n <- 10 # Tamaño muestral
N <- 500 # Número de simulaciones
Mx <- rep(0,N) 
for (i in 1:N){
  Muestra <- rnorm(n)
  Mx[i] <- max(Muestra)
}
t <- seq(0,5,0.01)
Fnorm <- pnorm(t)
FnMx <- ecdf(Mx)
plot(t,Fnorm^n,col="red",type="l")
plot(FnMx,add=TRUE,do.points=F)

Sea una muestra de v.a.i.i.d. \(X_1,\ldots,X_n\) de una v.a. \(X\) con función de densidad \(f\). Entonces la función de densidad del máximo de la muestra \(X_{(n)}\) es \(f_{X_{(n)}}(x)=n(F(x))^{n-1}f(x)\).

Lo comprobamos también con simulaciones. Con una \(X\) uniforme en [0,1]:

n <- 10 # Tamaño muestral
N <- 500 # Número de simulaciones
Mx <- rep(0,N) 
for (i in 1:N){
  Muestra <- runif(n)
  Mx[i] <- max(Muestra)
}
t <- seq(0,1,0.01)
Funif <- punif(t)
funif <- dunif(t)
fmax <- n*(Funif^(n-1))*funif
hist(Mx,freq=F)
lines(t,fmax,col="red")