En
esta
página recopilaremos toda la información relativa a Seminarios
Avanzados organizados por los profesores del Departamento de
Matemáticas de la UAM.
Estos seminarios están dirigidos a los estudiantes de los últimos cursos de Grado, Master y Doctorado que quieren complementar su formación.
Estos seminarios están dirigidos a los estudiantes de los últimos cursos de Grado, Master y Doctorado que quieren complementar su formación.
Actividades
2020-2021
Este año no reuniremos online
los viernes a las 10.
09/10/2020
Ismael Morales
Título:
Grupos libres como grupos fundamentales.
Resumen: El objetivo del seminario es tratar algunas técnicas elementales de la teoría de espacios recubridores en el estudio de grupos libres.
El siguiente resultado, cierto en una familia muy general de espacios topológicos X, será nuestra herramienta principal. Dado un espacio X, con grupo fundamental G, existe una correspondencia entre los subgrupos de G y los espacios recubridores de X.
Denotamos por F un grupo libre. Existen un grafo X cuyo grupo fundamental es F. El interés de la correspondencia anterior es que podemos probar resultados algebraicos de F empleando propiedades topológicas de los espacios recubridores de X, los cuales son grafos.
Algunos de los resultados sobre F que se podrán demostrar desde este punto de vista en el seminario, según el tiempo permita, son los siguientes:
* Todo subgrupo de F es libre.
* Todo subgrupo de índice finito de un grupo finitamente generado es finitamente
generado.
* Si F es un grupo libre de k generadores, entonces todo subgrupo de F de índice finito n es un grupo libre de nk-n+1 generadores.
* Dado un grupo finito G y un morfismo f: F --> G sobreyectivo,
podemos calcular generadores explícitos del núcleo de f.
* Sea p primo. F es residualmente un p-grupo finito. Es decir, dado cualquier elemento g no trivial de F, existe un subgrupo normal H de F con índice potencia de p tal que H no contiene a g.
Resumen: El objetivo del seminario es tratar algunas técnicas elementales de la teoría de espacios recubridores en el estudio de grupos libres.
El siguiente resultado, cierto en una familia muy general de espacios topológicos X, será nuestra herramienta principal. Dado un espacio X, con grupo fundamental G, existe una correspondencia entre los subgrupos de G y los espacios recubridores de X.
Denotamos por F un grupo libre. Existen un grafo X cuyo grupo fundamental es F. El interés de la correspondencia anterior es que podemos probar resultados algebraicos de F empleando propiedades topológicas de los espacios recubridores de X, los cuales son grafos.
Algunos de los resultados sobre F que se podrán demostrar desde este punto de vista en el seminario, según el tiempo permita, son los siguientes:
* Todo subgrupo de F es libre.
* Todo subgrupo de índice finito de un grupo finitamente generado es finitamente
generado.
* Si F es un grupo libre de k generadores, entonces todo subgrupo de F de índice finito n es un grupo libre de nk-n+1 generadores.
* Dado un grupo finito G y un morfismo f: F --> G sobreyectivo,
podemos calcular generadores explícitos del núcleo de f.
* Sea p primo. F es residualmente un p-grupo finito. Es decir, dado cualquier elemento g no trivial de F, existe un subgrupo normal H de F con índice potencia de p tal que H no contiene a g.
25/09/2020, 02/09/2020
Daniel Puignau,
Demostración del Teorema de Fermat para primos
regulares.
Actividades
2019-2020
Cohomogías de Cuerpos de Números: lectura del libro de Neukirch, Schmidt y Wingberg "Cohomology of Number field"
Profesores responsables: Daniel Macias, Andrei Jaikin
La siguiente clase será el 31 de enero a las 10:00
14/02, 28/02, 13/03, 27/03
Cohomogías de Cuerpos de Números: lectura del libro de Neukirch, Schmidt y Wingberg "Cohomology of Number field"
Profesores responsables: Daniel Macias, Andrei Jaikin
La siguiente clase será el 31 de enero a las 10:00
14/02, 28/02, 13/03, 27/03
Mini-Curso de ocho horas, impartido por Maxim Mornev, de la ETH Zürich, que tratará de Aritmética de Cuerpos de Funciones (sobre Cuerpos Finitos).
La primera sesión será el lunes 20 de enero entre 15.00 y 17.00.
Las tres sesiones siguientes (martes, miércoles y jueves) serán de 10.00 a 12.00.
Todas en el aula 420.
ABSTRACT:
Taelman discovered an analog of BSD conjecture for Drinfeld modules and proved it in the key case of the coefficient ring F_q[t]. In thislecture course I shall discuss an approach to his original result and the subsequent generalizations via shtuka cohomology. This leads to arather conceptual proof of the conjecture and resonates well with equivariant Tamagawa number conjecture for motives.
The course can be naturally divided into three parts:
1. Statement of the conjecture and overview of the proof.
2. Shtukas, their cohomology and the relation to Drinfeld modules (1,5 lectures).
3. Regulator theory and the trace formula (1,5 lectures).
In the third part I shall discuss the key tool: Anderson's trace formula. This formula expresses the special values of Goss L-functionsas determinants of various kind (e.g. Fredholm determinants of certain trace-class operators in Taelman's original proof).