SEMINARIO DE ÁLGEBRA Y TEORÍA DE NÚMEROS



Ana Zumalacárregui



(University of New South Wales, Australia)



"Estrategias para resolver problemas en congruencias"



Martes, 4 de julio de 2017 a las 11:30, aula 420



RESUMEN: El objetivo de la charla es entender cómo podemos estimar el número de soluciones de: 

[ f(x,y) equiv 0 pmod p quad  1le x,y le M, ]

donde $f$ representa cierta función interesante (polinomio, exponencial, etc.).

Revisaremos las diferentes estrategias para resolver este tipo de problemas, que dependerán del tamaño de $M$ y de la función $f$, y discutiremos los límites de las mismas. 

Cuando el valor de $M$ el grande, las sumas de caracteres y/o el análisis de Fourier nos permiten obtener estimaciones asitóticas para el número de soluciones. Sin embargo, estos métodos tienen una barrera natural en torno al valor $M=p^{1/2}$. Para obtener cotas no triviales más allá de dicha barrera uno ha de recurrir a nuevas ideas, que provienen de la combinatoria aditiva, que resultan ser especialmente buenos cuando el valor de $M$ es muy pequeño.

Discutiremos varios ejemplos explícitos para ilustrar las técnicas e ideas que hay detrás de este tipo de resultados.