Teoría de la Medida. Hoja de Problemas n^{o}9

Medidas con signo. Teorema de Radon–Nikodym.

1.- Sea m la medida de Lebesgue en IR. Definimos ν(E) = ∫_{E} xe^{−x^{2}}dx para E ∈ B_{IR}. Hallar los conjuntos positivos, negativos y nulos para la medida ν.

2.- a. Comprobar que un conjunto es ν-nulo si y sólo si es |ν|-nulo.

b. Comprobar que ν ⊥ μ si y sólo si |ν| ⊥ μ. c. Comprobar que ν ⊥ μ si y sólo si ν ⊥ μ^{+} y ν ⊥ μ^{−}.

3.- Sea {a_{n}} una sucesión de números reales. Para E ⊂ IN definimos ν(E) = ∑_{n∈E} a_{n}. ¿Qué condiciones debe cumplir a_{n} para que ν sea una medida con signo? Demostrar que si ∀n, a_{n} ≠ 0, y ν es una medida con signo la descomposición de Hahn para ν es única.

4.- Sea ν una medida con signo tal que ν = ν_{1} − ν_{2}, siendo ν_{1} y ν_{2} medidas positivas. a. Comprobar que ν^{+} ≤ ν_{1} y que ν^{−} ≤ ν_{2}. b. Comprobar que |ν| ≤ ν_{1}+ν_{2} y que se verifica la igualdad si y sólo si ν_{1} = ν^{+} y ν_{2} = ν^{−}.

5.- Sea ν una medida con signo sobre (X, M) y E ∈ M. Comprobar que a. ν^{+}(E) = sup{ν(F), F ∈ M, F ⊂ E}. b. ν^{−}(E) = − inf{ν(F), F ∈ M, F ⊂ E}. c. |ν|(E) = sup{∑_{1}^{n} |ν(E_{j})|, E_{j} disjuntos E = ∪_{1}^{n}E_{j}}.

6.- Sea X = IN, M = P(IN), ν la medida de contar en IN y μ(E) = ∑_{n∈E} \frac{1}{2^{n}}. Comprobar que ν ≪ μ, pero sin embargo no se verifica la condición de que dado ϵ > 0 ∃ δ > 0 tal que si E es un conjunto de M con μ(E) < δ, entonces ν(E) < ϵ.

7.- Sean X = [0, 1], M = B_{[0,1]}, m la medida de Lebesgue en M y μ la medida de contar en M. Comprobar: a. m ≪ μ pero dm ≠ fdμ para toda f. b. μ no tiene descomposición de Lebesgue respecto de m.

8.- Sean μ y ν medidas finitas sobre (X, M) tales que ν ≪ μ. Sea λ = μ + ν. Si f = \frac{dν}{dλ}, demostrar que 0 ≤ f < 1 salvo en un conjunto de medida μ-nula, y que \frac{dν}{dμ} = \frac{f}{1−f}.

9.- Sea (X, M, μ), un espacio de medida. Sea N una σ-álgebra contenida en M y sea ν la restricción de μ a N. Si f ∈ L^{1}(μ) demostrar que existe g N -medible, g ∈ L^{1}(ν), tal que ∫_{E} fdμ = ∫_{E} gdν para todo E ∈ N, además g es única módulo alteraciones en conjuntos ν-nulos. [La función g se llama en probabilidad esperanza condicionada de f con respecto N y se denota E(f|N).]