Ejercicios de teoría de la medida. Hoja n^{o}8: Medidas producto. Teorema de Fubini.

1. Sean X = Y = IN, M = N = P(IN), y sean μ, ν medidas discretas. Definimos

f(m, n) = \{ \begin{matrix}1 & si m = n, \\ −1 & si m = n + 1, \\ 0 & en otro caso. \end{matrix}

Comprobar que ∫ | f | d(μ × ν) = ∞, y que ∫ (∫ fdμ)dν, y ∫ (∫ fdν)dμ) existen y son distintas.

2. Sean (X_{1}, A_{1}, μ_{1}), (X_{2}, A_{2}, μ_{2}) dos espacios de medida con X_{1} = X_{2} = IN; A_{1} = A_{2} = P(IN); y μ_{1}, μ_{2} las medidas de contar. Tomamos en X_{1} × X_{2} la σ-álgebra y la medida producto. Sea

g(x, y) = \{ \begin{matrix}1 + 2^{−x} & si x = y, \\ −1 − 2^{−x} & si x = y + 1, \\ 0 & en otro caso. \end{matrix}

Probar que las integrales iteradas existen pero son distintas.

3. Sean X = Y = [0, 1], A_{1} = A_{2} = B_{[0,1]}, μ la medida de Lebesgue en A_{1}, ν la medida de contar en A_{2}. En el espacio de medida (X ×Y, A_{1} ⊗A_{2}, μ×ν) se considera el conjunto V = {(x, y) : x = y}. Comprobar que V ∈ A_{1} ⊗ A_{2} y sin embargo

∫_{Y} dν ∫_{X} χ_{V} dμ = 0 ∫_{X} dμ ∫_{Y} χ_{V} dν = 1

¿Qué hipótesis del teorema de Fubini no se cumple?

Sugerencia. V_{n} = (I_{1} × I_{2}) ∪ … ∪ (I_{n} × I_{n}) siendo I_{j} = [\frac{j−1}{n}, \frac{j}{n}] j = 1, 2, … n, entonces V = ∩_{1}^{∞}V_{n}.

4. Sean (X, M, μ) y (Y, N , ν) espacios de medida σ-finitos. Sean f : (X, M) → C, g : (Y, N) → C medibles y h definida mediante h(x, y) = f(x)g(y). a. Demostrar que h es M ⊗ N -medible. b. Demostrar que si f ∈ L^{1}(μ) y g ∈ L^{1}(ν) entonces h ∈ L^{1}(μ×ν) y además ∫ hd(μ×ν) = (∫ fdμ)(∫ gdν).

5. Sea A = [a, b] × [c, d], y sea f continua en A. Demostrar que

∫_{A} fdm = ∫_{a}^{b} dx ∫_{c}^{d} f(x, y)dy = ∫_{c}^{d} dy ∫_{a}^{b} f(x, y)dx.

6. Sea

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{2}−y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

Comprobar que

∫_{0}^{1} dx ∫_{0}^{1} f(x, y)dy = \frac{π}{4}  y que  ∫_{0}^{1} dy ∫_{0}^{1} f(x, y)dx = −\frac{π}{4}

¿Que hipótesis del teorema de Fubini no se verifica?

Sugerencia. Para calcular ∫_{0}^{1} f(x, y)dy hacer el cambio y = x tan t.

7. Sea f : [−1, 1] × [−1, 1] → R definida por

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}} & si (x, y) ≠ (0, 0), \\ 0 & si x = y = 0. \end{matrix}

Demostrar que las integrales iteradas de f coinciden y valen cero, y sin embargo f no es integrable en [−1, 1] × [−1, 1]. ¿Qué hipótesis del Teorema de Fubini no se verifica?.

8. Demostrar que

∫_{0}^{∞} e^{−y} \frac{sin^{2} y}{y} dy = \frac{1}{4} log 5.

Sugerencia. Comprobar en primer lugar que e^{−y} sin 2xy es integrable en A = [0, 1]×[0, ∞). Luego aplicar Fubini comprobando que

∫_{0}^{1} e^{−y} sin 2xydx = \frac{e^{−y}}{y} sin^{2} y y que ∫_{0}^{∞} e^{−y} sin 2xydy = \frac{2x}{1 + 4x^{2}} .

9. Sea f ∈ L^{1}(0, ∞). Dado α > 0, definimos g_{α}(x) = ∫_{0}^{x}(x − t)^{α−1}f(t)dt, para x > 0. Demostrar que α ∫_{0}^{y} g_{α}(x)dx = g_{α+1}(y), para y > 0.

Sugerencia. Comprobar que se puede aplicar el teorema de Fubini.

10. Sea f(x, y) = log(x^{2} + y^{2}); y ∈ (0, 1), x > 0. Demostrar que φ(x) = ∫_{0}^{1} f(x, y)dy está bien definida y es continua. Demostrar que φ′(x) = ∫_{0}^{1} \frac{∂f}{∂x}dy y calcular φ′(x).

11. Para x ∈ R se define φ(x) = ∫_{0}^{∞} e^{−y^{2}} cos xydy. Demostrar que φ′(x) = −\frac{1}{2}xφ(x) y que φ(x) = \frac{\sqrt{π}}{2}e^{−x^{2}/4}. [Recuérdese que ∫_{0}^{∞} e^{−y^{2}}dy = \frac{\sqrt{π}}{2}.]

12. Para x ∈ R se define φ(x) = ∫_{0}^{∞} e^{−y^{2}− \frac{x^{2}}{y^{2}}} dy. Usando el cambio y = \frac{x}{z}, demuéstrese que si x > 0, entonces φ′(x) = −2φ(x). Compruébese que ∀x ∈ R, φ(x) = \frac{\sqrt{π}}{2}e^{−2|x|}. Si b < 0 ¿puede aplicarse el teorema de permutación de la derivación con la integración para x ∈ [a, b]?

hoja n^{o}8/ENE97