Ejercicios de teoría de la medida. Hoja n^{o}7: Teoremas de convergencia de integrales.

1. Sea g : (X, M, μ) → (\overline{R}, B\overline{R}) integrable. Sea \{E_{n}\} una sucesión decreciente de conjuntos tal que ∩_{1}^{∞}E_{n} = Ø . Probar que lim_{n→∞} ∫_{E_{n}} gdμ = 0

2. Sea f : R → [0, ∞) medible y f ∈ L^{1}(m). Sea F : R → R definida mediante F (x) = ∫_{−∞}^{x} f(t)dm. Probar que F (x) es continua.

Sugerencia. Usar teoremas de convergencia.

3. Sea μ(X) < ∞ . Sean {f_{n}} ∈ L^{1}(μ) , tales que f_{n}(x) → f(x) uniformemente. Demostrar que f ∈ L^{1}(μ) y que ∫ f_{n}dμ → ∫ fdμ.

Sugerencia. Estudiar la sucesión ε_{n}(x) = f_{n}(x) − f(x), escribir f(x) = f_{n}(x) − (f_{n}(x) − f(x)).

4. Sea f(x) = x la función medible (R, B, P) → (R, B_{R}) siendo P la medida de probabilidad definida mediante P (n) = \frac{e^{−λ}λ^{n}}{n!} , n ∈ N , λ > 0 fijo. Calcular ∫_{R} fdP.

5. Sea A = [0, 1] ∩ Q , entonces A = {a_{1}, a_{2}, …, a_{n} … }. Definimos f_{n} : [0, 1] → R mediante

f_{n}(x) = \{ \begin{matrix}1 & si x ∈ \{a_{1}, a_{2}, …, a_{n}\} \\ 0 & en otro caso. \end{matrix}

Demostrar que f_{n} es integrable Riemann, hallar f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x), y estudiar si f(x) es integrable Riemann. ¿Son f_{n} y f funciones integrables de Lebesgue?

6. Demostrar que

lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{(1 + \frac{x}{n})^{n}x^{\frac{1}{n}}} = 1.

7. Sea

f_{n}(x) = \frac{nx − 1}{(x log n + 1)(1 + nx^{2} log n)}, x ∈ (0, 1].

Comprobar que lim_{n→∞} f_{n}(x) = 0, y sin embargo lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x)dx = \frac{1}{2}.

Sugerencia.

f_{n}(x) = \frac{−1}{x log n + 1} + \frac{nx}{(n log n)x^{2} + 1}.

8. Calcular

lim_{n→∞} ∫_{a}^{∞} \frac{n}{1 + n^{2}x^{2}} dx

estudiando los casos a < 0, a = 0, a > 0. ¿Qué teoremas de convergencia son aplicables?

9. Calcular

lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} \frac{1 + nx^{2}}{(1 + x^{2})^{n}} dx.

10. Demostrar que ∫_{0}^{∞} x^{n}e^{−x} = n! diferenciando la ecuación ∫_{0}^{∞} e^{−tx}dx = \frac{1}{t}. Justificar la posibilidad de diferenciar.

11. Sea {f_{n}} la sucesión de funciones medibles tales que f_{n}(x) = n cos nx si x ∈ [−\frac{π}{2n}, \frac{π}{2n}] y f_{n}(x) = 0 si x ∉ [−\frac{π}{2n}, \frac{π}{2n}] . Estudiar si

lim_{n→∞} ∫_{−π}^{π} f_{n}(x)dx = ∫_{−π}^{π} lim_{n→∞} f_{n}(x)dx.

Estudiar si pueden aplicarse en este caso los teoremas de convergencia monótona y convergencia dominada de Lebesgue.

12. Sea (R, B, μ) el espacio de medida definido por

μ(A) = card(A ∩ N), A ∈ B.

Demostrar que f(x) = xsen(πx) es μ-integrable pero no es integrable con respecto a la medida de Lebesgue en R.

13. Calcular

lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} \frac{n + n^{4}x^{3}}{(1 + x)^{n}} dx.

Sugerencia. Hacer el cambio t = nx.

14. Demostrar que

∫_{0}^{1} \frac{x}{1 − x} log \frac{1}{x}dx = ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n^{2}} .

Sugerencia. Usar el hecho de que para x ∈ (0, 1) se tiene que \frac{1}{1−x} = ∑_{n=0}^{∞} x^{n}, y a continuación aplicar un teorema de convergencia adecuado.

hoja n^{o}7/dic96