Ejercicios de teoría de la medida. Hoja n^{o}6: Integral de Lebesgue.

1. Sea f(x) : [0, 1] → R^{+} definida mediante f(x) = 0, si x es racional, f(x) = n si n es el número de ceros inmediatamente después del punto decimal en la representación de x en la escala decimal. Calcular ∫ f(x)dm, siendo m la medida de Lebesgue.

2. Sea f(x) = 0 en cada punto del conjunto ternario de Cantor en [0,1]. Sea f(x) = p en cada intervalo del complementario de longitud \frac{1}{3^{p}}. Demostrar que f es medible y calcular ∫_{0}^{1} f(x)dm, siendo m la medida de Lebesgue.

3. Sea f(x) la función definida en (0, 1) mediante f(x) = 0 si x es racional, f(x) = [\frac{1}{x}] si x es irracional. ([\frac{1}{x}] es la parte entera de \frac{1}{x}). Calcular ∫ f(x)dm siendo m la medida de Lebesgue.

4. Sea f_{2n−1} = χ_{[0,1]} f_{2n} = χ_{[1,2]}; n = 1, 2, . . .. Comprobar que se verifica estrictamente la desigualdad de Fatou.

5. Comprobar ∫_{1}^{∞} \frac{1}{x}dm = ∞, siendo m la medida de Lebesgue.

6. Sea f_{n} ≥ 0 medible, lim f_{n} = f , f_{n} ≤ f ∀n. Comprobar que ∫ fdμ = lim ∫ f_{n}dμ.

Sugerencia. Usar el lema de Fatou y la condición f_{n} ≤ f.

7. Sea f_{n}(x) = min(f(x), n) siendo f(x) ≥ 0 y medible. Demostrar que

∫ f_{n}dμ ↑ ∫ fdμ.

8. Sean f ≥ 0 , g ≥ 0 medibles f ≥ g, ∫ gdμ < ∞. Probar que ∫ fdμ − ∫ gdμ = ∫ (f − g)dμ.

9. Sean f_{n}(x) funciones medible no negativas y acotadas. Supongamos que f_{n}(x) ↓ f(x) y que para algún k se verifica ∫ f_{k}dμ < ∞. Probar que lim ∫ f_{n}dμ = ∫ fdμ.

Sugerencia. Formar la sucesión g_{n} = f_{k} − f_{k+n}.

10. Sea 1 = a_{1} ≥ a_{2} ≥ a_{3}, …, ≥ a_{n}, …, una sucesión de números positivos tales que lim a_{n} = 0. Sea f_{n}(x) = a_{n}/x, x > a > 0. Comprobar que f_{n} decrece a cero uniformemente en (a, ∞), pero ∫_{a}^{∞} f_{n}dm = ∞ para ∀n.

11. Sea f_{n} : (0, 1] → [0, ∞), definida mediante

f_{n}(x) = \{ \begin{matrix}n & si & x ∈ (0, \frac{1}{n}] \\ 0 & si & x ∈ (\frac{1}{n}, 1] \end{matrix}

Comprobar que f_{n} → 0 puntualmente pero ∫ f_{n}dm = 1.

12. Sea M la σ-álgebra de los conjuntos medibles de Lebesgue en [0, ∞). En M se define la medida μ mediante μ(E) = ∫_{E} \frac{1}{1+x}dx. Hallar la función F tal que μ sea la medida de Lebesgue-Stieltjes inducida por F. Encontrar una función f(x) tal que ∫ fdμ < ∞ pero ∫ fdm = ∞, siendo m la medida de Lebesgue.

13. Sea {f_{n}} una sucesión de funciones de (R, L, m) en (R, B_{R}), medibles y no negativas, tales que lim_{n→∞} f_{n}(x) = f(x) para todo x de R, y además ∫_{R} f_{n}dm = ∫_{R} fdm = 1 para todo n ∈ N. Demostrar que

lim_{n→∞} ∫_{−∞}^{x} f_{n}dm = ∫_{−∞}^{x} fdm, ∀x ∈ R.

Sugerencia. Usar un teorema de convergencia adecuado.

14. Sea f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}χ_{(0,1)}(x), y sea \{r_{n}\} una enumeración de los racionales. Definimos g(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} f(x − r_{n}). Probar los siguientes apartados: a. g ∈ L^{1}(m). b. g(x) < ∞ en c. t. x ∈ R. c. g es discontinua ∀x ∈ R y no está acotada en ningún intervalo I ⊂ R.

15. Sea f una función de L^{1}(R), f ≥ 0, tal que para cualquier par de enteros positivos n, m ≥ 0 se verifica

∫_{R} f^{n}(x)dx = ∫_{R} f^{m}(x)dx.

Demostrar que f es igual en casi todo punto a la función característica de un conjunto medible A de medida finita.

Sugerencia. Seguir los siguientes pasos: a. Demostrar que si A = {x ∈ R : f(x) = 1}, entonces A es un conjunto medible de medida finita. b. Demostrar que f(x) ≤ 1 en casi todo x. c. Si A^{c} es el complementario de A, demostrar que ∫_{A^{c}} f(x)dx = 0. d. Demostrar que f(x) = χ_{A}(x) para casi todo x ∈ R.

hoja n^{o}6/nov96