Ejercicios de teoría de la medida. Hoja n^{o}5: Funciones medibles.

1. Sea M la σ-álgebra formada por {Ø, R, (−∞, 0], (0, ∞)} . Sea f la función f : R → R definida mediante

f(x) = \{ \begin{matrix}0 & si & x ∈ (−∞, 0] \\ 1 & si & x ∈ (0, 1] \\ 2 & si & x ∈ (1, ∞). \end{matrix}

¿Es f medible?. ¿Cómo son las funciones medibles f : (R, M) → (R, B_{R}) ?

2. Para funciones f : (X, M) → (R, B_{R}), ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? a. | f | medible ⇒ f medible. b. f_{1} + f_{2} medible ⇒ f_{1} ó f_{2} medible. c. f_{1} · f_{2} medible ⇒ f_{1} ó f_{2} medible. d. f_{1} + f_{2} medible y f_{1} − f_{2} medible ⇒ f_{1} y f_{2} medibles.

3. Sea f : (X, M, μ) → (R̄, BR̄) una función medible no-negativa y μ una medida σ -finita en M. Demostrar que f = lim t_{n}, siendo t_{n} funciones simples no negativas que verifican t_{1} ≤ t_{2} ≤ … ≤ t_{n} …, y son tales que t_{n} toma valores distintos de cero solamente en un conjunto de medida finita.

Sugerencia. Construir B_{1} ⊂ B_{2} ⊂ … ⊂ B_{n} ⊂ … ⊂ X; μ(B_{n}) < ∞, tomar t_{n} = s_{n}χ_{B_{n}}, siendo s_{n} una sucesión creciente de funciones simples no-negativas con límite f.

4. Probar que si f : X → \overline{R} verifica que f^{−1}(r, ∞] es medible para todo r ∈ Q, entonces f es medible. (El resultado es cierto si r ∈ A; A denso en R.)

5. Si ∀n, f_{n} : (X, M) → (\overline{R}, B) es medible demostrar que A = \{x ∈ X : ∃ lim_{n→∞} f_{n}(x)} es un elemento de M.

6. Sea (Ω, M, P) un espacio de probabilidad. Sean X_{1} X_{2} dos funciones medibles (Ω, M, P) → (R, B_{R}) y sean F_{X_{1}} , F_{X_{2}} las funciones de distribución de las medidas de probabilidad inducidas por X_{1} y X_{2} respectivamente. Probar que si P {ω ∈ Ω : X_{1}(ω) = X_{2}(ω)} = 1 entonces ∀x ∈ R F_{X_{1}}(x) = F_{X_{2}}(x). ¿Es cierta la implicación contraria?.

7. Consideramos el espacio de probabilidad (N, P(N), P), con P (n) = \frac{1}{2^{n}}, n = 1, 2, …. Sea X : N → {0, 1, … k − 1} la función definida como X(n) = n( mod k), con k ∈ N fijo. Sea P^{∗} la probabilidad inducida por X . Calcular P^{∗}(r), 0 ≤ r ≤ k − 1.

8. Se considera el espacio de probabilidad (R, B_{R}, P), donde P viene dada por la función de densidad

f(x) = \{ \begin{matrix}1 & si & x ∈ [0, 1] \\ 0 & si & x ∉ [0, 1] \end{matrix}

Sea X : (R, B_{R}, P) → (R, B_{R}) definida mediante

X(x) = \{ \begin{matrix}−2 log x & si x > 0 \\ 0 & en el resto. \end{matrix}

Hallar F_{X}, la función de distribución de la probabilidad inducida por X.

9. El mismo enunciado que en el ejercicio anterior, siendo X(x) = x^{2} y

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2} & si x ∈ [−1, 0), \\ \frac{1}{4} & si x ∈ [0, 2), \\ 0 & en el resto. \end{matrix}

hoja n^{o}5/nov96