Teoría de la medida. Hoja de ejercicios n^{o}4: Medidas de Borel. Medidas de Lebesgue–Stieltjes.

1. Sea F la función

F (x) = \{ \begin{matrix}0 & si & x < 1, \\ x & si & 1 ≤ x < 3, \\ 4 & si & 3 ≤ x. \end{matrix}

y μ la medida de Lebesgue–Stieltjes asociada a F. Calcular: μ({1}), μ({2}), μ((1, 3]), μ((1, 3)), μ([1, 3)), y μ([1, 3]).

2. a. Encontrar una función de distribución F tal que para algún par de números a y b se verifique μ((a, b)) < F (b) − F (a) < μ([a, b]). b. Encontrar F_{1} y F_{2} tales que para algún par de números a y b se verifiquen las desigualdades μ_{1}((a, b)) < μ_{1}((a, b]) < μ_{1}([a, b)) < μ_{1}([a, b]) y μ_{2}((a, b)) < μ_{2}([a, b)) < μ_{2}((a, b]) < μ_{2}([a, b]) donde μ_{i} = μ_{F_{i}}, i = 1, 2.

3. Sea μ la medida de contar sobre (R, P(R)). Para un conjunto fijo A ⊂ R, definimos μ_{A}(B) = μ(B ∩ A) para todo B ⊂ R. a. Sea A = {1, 2, 3, …, n, …}; ¿es μ_{A} una medida de Lebesgue–Stieltjes? En caso afirmativo hallar su función de distribución. b. Sea A = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, …, \frac{1}{n}, …\}; ¿es ν una medida de Lebesgue–Stieltjes? En caso afirmativo hallar su función de distribución.

4. Sea F (x) la función de distribución sobre R dada por

F (x) = \{ \begin{matrix}0 & si & x ∈ (−∞, −1) \\ 1 + x & si & x ∈ [−1, 0) \\ 2 + x^{2} & si & x ∈ [0, 2) \\ 9 & si & x ∈ [2, ∞) \end{matrix}

Si μ es la medida de Lebesgue–Stieltjes correspondiente a F, hallar la medida μ de los siguientes conjuntos: {2}; [−1/2, 3); (−1, 0]∪(1, 2); [0, 1/2)∪(1, 2]; {x ∈ R : |x|+2x^{2} > 1}.

5. Sea f : R → R no-negativa e integrable Riemann sobre cada intervalo finito y tal que ∫_{−∞}^{∞} f(x)dx = 1. Demostrar que F (x) = ∫_{−∞}^{x} f(y)dy es una función de distribución de probabilidad y que además F es continua (f se llama función de densidad de F). Hallar F (x), si

f(x) = \{ \begin{matrix}1 & si x ∈ [0, 1], \\ 0 & en el resto. \end{matrix}

6. Determinar el valor de k para que la función f más abajo definida sea la función de densidad de una medida de probabilidad. Determinar su función de distribución.

f(x) = \{ \begin{matrix}kx(1 − x) & si x ∈ [0, 1] & k > 0, \\ 0 & en el resto. \end{matrix}

7. Supongamos que la función de probabilidad que mide la duración en minutos de las conferencias telefónicas viene dada por la función de densidad

f(x) = \{ \begin{matrix}αe^{−kx} & si x ≥ 0 \\ 0 & en el resto \end{matrix}

siendo k > 0 una constante conocida. a. Hallar α para que f sea una función de densidad de probabilidad. b. Si k = 1/2 calcular la probabilidad de que una conversación dure más de tres minutos. c. Si k = 1/2 calcular la probabilidad de que una conversación dure entre 3 y 6 minutos.

8. Dada la función de distribución

F (x) = \{ \begin{matrix}0 & si & x ∈ (−∞, −1) \\ \frac{1}{3} & si & x ∈ [−1, \sqrt{2}) \\ \frac{1}{2} + \frac{x−\sqrt{2}}{10} & si & x ∈ [\sqrt{2}, 5) \\ 1 & si & x ∈ [5, ∞), \end{matrix}

sea μ la medida de probabilidad correspondiente; calcular la medida de los conjuntos:

R;  [(R − Q) ∩ [\sqrt{2}, 5]];  [(R − Q) ∩ [−2, \sqrt{2}]];  [Q ∩ [1, 6]].

Calcular también μ(lim sup A_{n}); y μ(lim inf A_{n}) siendo

A_{3n−2} = (\frac{2n}{4n + 3}, \frac{4n + 5}{3n});  A_{3n−1} = (−2, \frac{6n − 1}{5n + 2});  A_{3n} = (\frac{4}{5n + 2}, \frac{6n + 1}{2n}).

9. Sea F una función de distribución en R.

a. Probar que el conjunto de puntos de discontinuidad de F es numerable. b. Probar que el conjunto de puntos de continuidad es denso en R.

[Sugerencia: F es monótona luego no tiene más discontinuidades que saltos.]

10. Variando si es necesario en cada caso el tamaño de los intervalos, construir un conjunto de tipo Cantor cuya medida de Lebesgue sea mayor que 1 − ϵ .

11. Sea μ_{F} la medida de Lebesgue–Stieltjes sobre R correspondiente a una función de distribución continua F. a. Probar que si A es numerable entonces μ_{F} (A) = 0. b. Probar que existen conjuntos A tales que μ_{F} (A) > 0 y A no contiene ningún intervalo abierto. c. Si μ(A) ≥ 0 y μ(R \ A) = 0, ¿tiene que ser A denso en R? [Sugerencia: construir una

función F (x) que sea constante en un intervalo.]

12. Sea F : [0, ∞) → [0, ∞) la función de distribución F (x) = log(1 + x), y μ_{F} la medida de Lebesgue–Stieltjes asociada. Calcular μ_{F} ({Cantor}). [Sugerencia: El conjunto de Cantor está

contenido en 2^{n} intervalos de longitud \frac{1}{3^{n}}.]

13. Sea μ una medida de Borel en R, finita sobre compactos, con μ(0, 1]) = 1.

a. Probar que si ∀s ∈ R, μ(s + E) = μ(E), entonces μ es la medida de Lebesgue. b. Probar que si ∀r ∈ R, μ(rE) = |r|μ(E), entonces μ es la medida de Lebesgue.

14. Sea E ⊂ R un conjunto medible de Lebesgue tal que 0 < m(E) < ∞, siendo m la medida de Lebesgue. Demostrar que para cada α, 0 < α < 1, existe un intervalo abierto I tal que m(I ∩ E) > α m(I).

nov 96