Teoría de la medida. Hoja de ejercicios n^{o}3: Medidas exteriores.

1. Sea X un conjunto cualquiera. Definimos μ^{∗} : P(X) → [0, 1] mediante μ^{∗}(Ø) = 0, μ^{∗}(A) = 1, si A ≠ Ø, A ⊂ X. Comprobar que μ^{∗} es una medida exterior. Determinar la σ-álgebra de los conjuntos medibles.

2. Sea X un conjunto cualquiera. Definimos μ^{∗}(Ø) = 0, μ^{∗}(X) = 2, μ^{∗}(A) = 1 para A ≠ Ø, A ≠ X. Comprobar que μ^{∗} es una medida exterior. Determinar la σ-álgebra de los conjuntos medibles.

3. Comprobar que si μ^{∗} es una medida exterior finitamente aditiva entonces es numerablemente aditiva.

4. Sea μ^{∗} una medida exterior, sea H un conjunto μ^{∗} medible, sea μ_{0}^{∗} la restricción de μ^{∗} a P(H). a. Comprobar que μ_{0}^{∗} es una medida exterior en H. b. Comprobar que A ⊂ H es μ_{0}^{∗} medible si y sólo si es μ^{∗} medible. c. Si se suprime la hipótesis de que H sea μ^{∗}-medible, ¿qué partes seguirán siendo ciertas y cuales fallarán?

5. Sea μ^{∗} una medida exterior y sea {A_{j}} una sucesión de conjuntos μ^{∗} medibles disjuntos. Probar que

∀E ⊂ X, μ^{∗}(E ∩ (∪_{1}^{∞}A_{j})) = ∑_{1}^{∞} μ^{∗}(E ∩ A_{j}).

[Sugerencia: Empezar considerando que A_{1} es medible y tomando como conjunto de prueba E ∩ (∪_{1}^{∞}A_{j}).]

6. Sea X un conjunto con un número infinito de elementos. Tomemos como clase recubridora C, la formada por el vacío, el total y los conjuntos con un único elemento. Definimos ρ(Ø) = 0, ρ(X) = ∞, ρ(E) = 1, si E ∈ C, E ≠ Ø, E ≠ X. Describir la medida exterior así obtenida. Estudiar la σ-álgebra de los conjuntos medibles.

7. Sea X un conjunto no-numerable. Sea C la σ-álgebra formada por los conjuntos numerables y no-numerables de complementario numerable. Sea μ : C → [0, ∞] definida mediante μ(E) = card(E), si E es finito, μ(E) = ∞ en otro caso. a. Probar que μ es una medida completa en C. b. Estudiar la medida μ^{∗} construida a partir de C y μ.

8. Sea (N, P(N)), y μ^{∗} definida sobre P(N) tal que ∀E ∈ P(N)

μ^{∗}(E) = \{ \begin{matrix}\frac{n}{n+1} & si card(E) = n, \\ 1 & si card(E) = ∞. \end{matrix}

Demostrar que μ^{∗} es una medida exterior y encontrar la σ-álgebra de los conjuntos medibles.

oct96