Problemas de Teoría de la Medida. Hoja n^{o}2.

1.- Sea (X, M, μ) un espacio de medida. Si E, F ∈ M, comprobar que μ(E) + μ(F) = μ(E ∪ F) + μ(E ∩ F).

2.- Sea (X, M, μ) un espacio de medida. Para E ∈ M definimos μ_{E}(A) = μ(A∩E). Probar que μ_{E} es una medida.

3.- a. Probar que una medida σ-finita es semifinita. b. Sea X un conjunto no numerable. Sea M = P(X). Sea μ la medida discreta. Probar que μ es semifinita pero no es σ finita.

4.- Sea X un conjunto infinito numerable. Consideremos la σ-álgebra M = P(X). Definimos para A ∈ M

μ(A) = \{ \begin{matrix}0 & si A es finito, \\ ∞ & si A es infinito. \end{matrix}

a. Probar que μ es finitamente aditiva, pero no numerablemente aditiva. b. Probar que existe una sucesión creciente de conjuntos {A_{n}} tales que μ(A_{n}) = 0 ∀n ∈

N, y lim_{n→∞} A_{n} = X.

5.- Sea A = ∪_{1}^{∞}A_{j}. Demostrar que μ(A) = lim_{n→∞} μ(∪_{1}^{n}(A_{j})).

6.- Sea (X, M, μ) un espacio de medida. Sean {E_{j}}_{1}^{∞} ∈ M. Probar que si ∀j, μ(∪E_{j}) < ∞ entonces

μ(lim inf E_{j}) ≤ lim inf μ(E_{j}) y μ(lim sup E_{j}) ≥ lim sup μ(E_{j}).

En particular si μ(X) < ∞ entonces a. μ(lim inf E_{j}) ≤ lim inf μ(E_{j}) ≤ lim sup μ(E_{j}) ≤ μ(lim sup E_{j}). b. Si existe lim E_{j} entonces μ(lim E_{j}) = lim μ(E_{j}).

7.- Sea X = {a_{1}, a_{2}, a_{3}}, sea M = P(X). Sea μ una medida que verifica μ(a_{1}) = μ(a_{2}) = μ(a_{3}) = \frac{1}{3}. Consideremos la sucesión de conjuntos A_{n} tal que A_{2k} = \{a_{1}, a_{2}\} y A_{2k+1} = {a_{3}} para k ∈ N. Probar que:

μ(lim inf A_{n}) < lim inf μ(A_{n}) < lim sup μ(A_{n}) < μ(lim sup A_{n}).

8.- Sea X = N, M = P(N) y μ la medida discreta. Construir una sucesión A_{n} ∈ P(N) tal que lim_{n→∞} A_{n} = ∅ y lim_{n→∞} μ(A_{n}) ≠ 0.

9.- Sea μ una medida semifinita y sea E tal que μ(E) = ∞. Probar que si c es un número real mayor que cero, existe un conjunto F ⊂ E tal que c < μ(F) < ∞. (Sugerencia: Si k = sup{μ(A), A ⊂ E, μ(A) < ∞} ⇒ k = ∞)

10.- Sean {A_{n}} conjuntos medibles tales que ∑_{n=1}^{∞} μ(A_{n}) < ∞. Demostrar que casi todo elemento x pertenece sólo a un número finito de A_{n} . (Dicho de otra manera, el conjunto de los puntos x que pertenecen a infinitos de los A_{n}, mide cero.)

11.- Sea (X_{1}, M_{1}, μ_{1}) un espacio de medida completo. Sea g : X_{1} → X_{2} una aplicación, M_{2} = {A ⊂ X_{2} : g^{−1}(A) ∈ M_{1}}, μ_{2}(A) = μ_{1}(g^{−1}(A)). Comprobar que (X_{2}, M_{2}, μ_{2}) es un espacio de medida completo.