Teoría de la Medida.

Hoja de Problemas n^{o}1: Álgebras y σ-álgebras.

1.– Sea X = {a, b, c, d}. Comprobar que la familia de conjuntos

A = {∅, {a}, {b}, {a, b}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}}

forma una σ-álgebra en X. 2.– Sea X = {a, b, c, d}. Construir la σ-álgebra generada por E = {{a}} y por E = {{a}, {b}}. 3.– Comprobar que la unión de dos σ-álgebras no tiene por qué ser una σ-álgebra. Poner un ejemplo en el que las σ-álgebras de partida tengan infinitos elementos. 4.– Sea g : X → Y. Sea A una σ-álgebra en X. Probar que B = {E ⊂ Y : g^{−1}(E) ∈ A} es una σ-álgebra en Y. 5.– Sea g : X → Y. Sea A una σ-álgebra en Y. Probar que B = {g^{−1}(E) : E ∈ A} es una σ-álgebra en X. 6.– Demostrar que un álgebra A en X es una σ-álgebra si y solo si es cerrada para uniones numerables crecientes (es decir, si E_{i} ∈ A, y E_{1} ⊂ E_{2} ⊂, …, entonces ∪_{1}^{∞}E_{i} ∈ A). 7.– Determinar el álgebra A que genera la colección de los subconjuntos finitos de un conjunto X no-numerable. Determinar la σ-álgebra engendrada por A. Estudiar el mismo problema en el caso en que X sea un conjunto infinito numerable. 8.– La σ-álgebra de X = (0, 1] engendrada por E = \{(0, \frac{1}{n}] : n = 1, 2, ⋯\} está formada por uniones finitas o numerables de intervalos (a, b]. Estudiar cómo son estos intervalos. 9.– Describir la σ-álgebra de N engendrada por E = {N ⊂ N : ∀n ∈ N 2n ∈ N}. 10.– Sea M una σ-álgebra de cardinal infinito. Demostrar que tiene cardinal no numerable. 11.– Hallar una cota superior al nmero de elementos que puede tener una σ-álgebra engendrada por n elementos.

oct96