Teoría de la Medida Examen Final

El examen consta de cuatro ejercicios de igual valor. En una misma hoja no deben escribirse, total o parcialmente, ejercicios diferentes. No pueden usarse ni libros ni apuntes.

1.- a. Definición de función medible Lebesgue.

Sean f, g : IR → IR. Demostrar las siguientes proposiciones: b. Si f es monótona entonces f es medible Lebesgue. c. Si f es contínua y g es medible Lebesgue entonces f ∘ g es medible Lebesgue. ¿Se puede decir lo mismo de g ∘ f? ¿Por qué?

2.- Sea f_{n} : [1, ∞) → IR la función definida por

f_{n}(x) = \frac{1}{x}χ_{[n,∞)}(x)

Demostrar que la sucesión {f_{n}} decrece a cero uniformamente en [1, ∞). Comentar los teoremas de convergencia (T. de la c. monótona, T. de la c. dominada, Lema de Fatou) para esta sucesión respecto de la medida de Lebesgue.

3.- Utilizar el teorema de Fubini para calcular la integral

∫0^{\frac{π}{2}} ∫y^{\frac{π}{2}} y \frac{sen x}{x}dxdy

indicando sobre qué espacios de medida y funciones se aplica dicho teorema y comprobando expresamente que se verifican sus hipótesis.

4.- Sean {a_{n}} y {b_{n}} dos sucesiones de números reales positivos tales que inf{a_{n}} = 0 e inf{b_{n}} > 0. Sean μ y ν las medidas sobre P(IN) definidas por μ({n}) = a_{n}; ν({n}) = b_{n}. a. Demostrar que μ << ν y que se verifican las hipótesis del Teorema de Radon–Nikodym.

b. Hallar \frac{dμ}{dν}.

UAM, 4sep96