Examen Final  Teoría de la Medida  12/2/96

El examen consta de seis ejercicios. Los ejercicios deben responderse en hojas diferentes 1.– Sea μ^{∗} la medida exterior sobre P(IN) definida por

μ^{∗}(E) = \{ \begin{matrix}0 & si E = Ø \\ ∑{n \atop k=1} \frac{1}{2^{k}} & card(E) = n \\ 1 & card(E) = ∞ \end{matrix}

Demostrar que μ^{∗} es una medida exterior y hallar la σ-álgebra de los conjuntos μ^{∗}-medibles. 2.– Sea (IR, B, P) el espacio de probabilidad con función de distribución

F (t) = \{ \begin{matrix}0 & t < −1 \\ \frac{1}{3}(t + 1) & −1 ≤ t < 2 \\ 1 & 2 ≤ t \end{matrix}

sea X : IR → IR definida por X(t) = 2t + 1. Hallar la función de distribución de la probabilidad inducida por X. 3.– Sea f ∈ L^{1}(X, dμ), f > 0; demostrar que lim_{n} ∫ f^{1/n}dμ = μ(X). (Indicación: X = {x : f(x) ≤ 1} ∪ {x : f(x) > 1}.) 4.– Probar que si f : X → IR verifica que f^{−1}(r, ∞) es medible para todo r ∈ Q, entonces f es medible. 5.– Demostrar que

∫_{0}^{1} sen x log xdx = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(2n)(2n)!}.

(Indicación:

∀x ∈ [0, 1], |∑_{k=0}^{n}(−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k + 1)!}| ≤ x

(¿por qué?).) 6.– Sea f ∈ L^{1}(0, 1) y sea h(x, t) = \frac{f(t)}{t}χ_{\{x≤t\}}(x, t), para todo (x, t) ∈ (0, 1) × (0, 1). Demostrar que h ∈ L^{1}((0, 1) × (0, 1)).