Teoría de la Medida  Examen Parcial (19/12/96)  Soluciones.

El examen consta de 4 ejercicios distribuidos en 2 hojas. Cada ejercicio encabeza una página en la que se debe dar la respuesta. Por favor, compruebe antes de comenzar que ha recibido un examen completo. Todos los ejercicios tienen el mismo valor. Apellidos

Nombre  DNI  Grupo

1.– Determinar la σ-álgebra de N que está generada por los subconjuntos de N que contienen a todos los primos. Decidir razonadamente si están en esta σ-álgebra los conjuntos {˙5} y {˙6}. Se considera en N la clase de subconjuntos E = {Ø, N, {ṗ} : p primo} y la función de conjunto ρ : E ⟶ [0, ∞] definida como ρ(Ø) = 0, ρ(N) = ∞, ρ(ṗ) = \frac{1}{p}. Estudiar la medida exterior generada por ρ.

Solución. Obsérvese que la clase generadora de la σ-álgebra es cerrada para la unión y para la intersección. Al añadir los complementarios obtenemos una clase cerrada para la unión y la complementación; por tanto la σ-álgebra está compuesta por los conjuntos que, bien contienen todos los primos, bien no contienen ninguno. El conjunto {˙5} ni contiene todos los primos (de hecho solamente contiene al 5), ni todos los primos están en su complementario (por contener al 5). Por tanto NO está en la σ-álgebra. Ningún primo está contenido en el conjunto {˙6}, por tanto éste conjunto sí está en la σ-álgebra. La medida exterior generada por ρ es difícil de describir. Veamos cual es la medida exterior de algunos conjuntos sencillos. Si un conjunto contiene solamente potencias de un primo p entonces su medida exterior es \frac{1}{p}. De igual forma, si un conjunto contiene solamente potencias de varios primos p_{1}, p_{2}, …, p_{n}, entonces su medida exterior es

∑_{i=1}^{n} \frac{1}{p_{i}} .

Incluso si contiene solamente potencias de un número infinito de primos p_{1}, P_{2}, … su medida será

∑_{i=1}^{∞} \frac{1}{p_{i}} ,

que puede ser finita o infinita (como demostró Euler) según los primos que aparezcan. La situación se complica cuando aparecen números cuya factorización contiene más de un número primo. Por ejemplo, el conjunto {2 · 3, 2 · 5} tiene recubrimientos minimales {˙2}, y {˙3, ˙5} y habrá que tomar como medida exterior el menor de los números \frac{1}{2}, \frac{1}{3} + \frac{1}{5} que resulta ser \frac{1}{2}. Sin embargo, el conjunto {2 · 5, 2 · 7} tiene por recubrimientos minimales {˙2}, y {˙5, ˙7} y su medida exterior será el menor de los números \frac{1}{2}, \frac{1}{5} + \frac{1}{7} que ahora es el segundo. Este ejemplo muestra las dificultades que puede tener el obtener una fórmula general que nos de la medida exterior de un conjunto a partir de sus componentes, si es que ésta existe.

2.– Calcular las integrales

∫ \frac{1}{x^{2}}χ_{[0,1]}(x)dm(x) ∫ \frac{1}{\sqrt{x}}χ_{[0,1]}(x)dm(x)

donde m es la medida de Lebesgue de R, justificando en cada caso el método utilizado.

Solución. Observemos primeramente que cualquiera de las dos integrales anteriores se calcula fácilmente si el integrando se multiplica por la función característica de un intervalo [ϵ, 1] para cualquier 0 < ϵ < 1: tanto la función \frac{1}{x^{2}}χ_{[ϵ,1]} como la función \frac{1}{\sqrt{x}}χ_{[ϵ,1]} se aproximan inferiormente por medio de sucesiones de funciones simples s_{n}, r_{n} obtenidas como sumas inferiores de Riemann para la partición de [ϵ, 1] con n segmentos iguales. Resulta entonces que por el teorema de la convergencia monótona:

∫ \frac{1}{x^{2}}χ_{[ϵ,1]}(x)dm(x) = \frac{1}{ϵ} − 1 ∫ \frac{1}{\sqrt{x}}χ_{[ϵ,1]}(x)dm(x) = 1 − \sqrt{ϵ}.

Dado que cuando ϵ ⟶ 0 el límite de la primera es ∞ y el de la segunda 1 éstos resultan ser los valores de las integrales pedidas ya que será suficiente aplicar el teorema de la convergencia monótona a las sucesiones

f_{n} = \frac{1}{x^{2}}χ_{[ϵ_{n},1]} y g_{n} = \frac{1}{\sqrt{x}}χ_{[ϵ_{n},1]}

para cualquier sucesión ϵ_{n} que decrezca a 0.

3.– Para x ∈ [0, 1] sea 0′x_{1}x_{2}x_{3} … el desarrollo de x en base 3 (en los casos ambiguos se toma el desarrollo infinito). Para todo n = 1, 2, 3, …, se define f_{n}(x) = x_{n}. Hallar f_{1}^{−1}({0}), f_{2}^{−1}({0}), f_{3}^{−1}({0}). Hallar f_{1}^{−1}({5}). Decidir razonadamente si las funciones f_{n} son medibles.

Solución.

f_{1}^{−1}({0}) = [0, 0′1],
f_{2}^{−1}({0}) = [0, 0′01] ∪ (0′1, 0′11] ∪ (0′2, 0′21],
f_{3}^{−1}({0})
= [0, 0′001] ∪ (0′01, 0′011] ∪ (0′02, 0′021]
∪(0′1, 0′101] ∪ (0′11, 0′111] ∪ (0′12, 0′121]
∪(0′2, 0′201] ∪ (0′21, 0′211] ∪ (0′22, 0′221],

f_{1}^{−1}({5}) = Ø,

donde los extremos de los intervalos están expresados en base 3 (con distinta convención que la expresada en el enunciado). Las funciones f_{n} solamente toman los valores 0, 1, y 2. Las imágenes inversas de cada uno de estos puntos resultan ser uniones finitas de intervalos (precisamente una unión de 3^{n−1} intervalos de longitud \frac{1}{3^{n}}). Por tanto todas estas funciones son medibles Borel.

4.– Demostrar o dar un contraejemplo de las siguientes afirmaciones. a. Si f es medible entonces f^{+} y f^{−} son medibles. b. Si f y |f| son medibles entonces f^{+} y f^{−} son medibles. c. Si f no es medible entonces ni f^{+} ni f^{−} son medibles.

Solución. a. f^{+} = sup{f, 0}, f^{−} = sup{−f, 0}, por tanto ambas son medibles. b. Consecuencia inmediata de a. c. Falso. Al menos una de ellas f^{+} ó f^{−} no podrá ser medible, sin embargo la otra sí puede serlo. Ejemplo: Sean E medible y F no medible, E ∩ F = Ø. Tómese f = χ_{E} − χ_{F} que es no medible. Entonces f^{+} = χ_{E} es medible (aunque f^{−} no es medible).