Resumen de la clase del 1 de marzo de 2006

(Preparado por: Antonio José López Urbano)

LÍMITES Y CONTINUIDAD

-Límite:

Dada f: A  Rn ---> Rm, donde x0 es punto de acumulación de A, y0 pertenece a Rm, se define lím f(x)= cuando x->x0 como el punto y0 tal que para todo E>0, existe r>0 tal que si x pertenece a B(x0,r)∩A entonces ||f(x)-y0||<E.

-14. Propiedades de los límites:

Dadas f,g: A  Rn ---> Rm, donde A es un abierto lím(x->x0)f(x)=y0, lím(x->x0)g(x)=z0, donde x0 pertenece a A, y0,z0 pertenecen a Rm, y c es un número real, se verifican las siguientes propiedades:

1. lím(x->x0)cf(x)=cy0

2. lím(x->x0)(f+g)(x)=y0+z0

3. lím(x->x0)f·g(x)=y0·z0 (donde (·) denota: "producto escalar")

4. Si m=1 y z0 es distinto de cero, entonces lím(x->x0)f/g(x)=y0/z0

-15. Dada f: ARn ---> Rm, donde A es un abierto, x0 pertenece a A, y0=(y0(1),...,y0(n)) pertenece a Rm, y la función se puede escribir por componentes: f=(f1,...,fm), entonces lím(x->x0)f(x)=y0 <-> para todo i=1,...,m lím(x->x0)fi(x)=yo(i)

-Continuidad; función continua en un punto:

Dada f: ARn ---> Rm, donde x0 pertenece a A y es punto de acumulación de A, f es continua en x0 si:

1. Existe lím(x->x0)f(x), y

2. lím(x->x0)f(x)=f(x0)

-Continuidad; función continua en un conjunto:

f es continua en A si f es continua en todo punto de A

-16. Propiedades que se verifican para la continuidad (definida):

Dadas f,g: ARn ---> Rm, donde A es un abierto, x0 pertenece a A, f y g son 
continuas en x0, y c es un número real, se verifican las siguientes propiedades:

1. cf es continua en x0

2. f+g es continua en x0

3. f·g es continua en x0

4. Si m=1 y g(x0) es distinto de cero, entonces f/g es continua en x0

-17. Dada f: AcRn-->Rm, f=(f1,...,fm), se dice que f es continua en x0 si y sólo si para todo i=1,...,m, fi es continua en x0

-Composición de funciones:

Dadas f: ARn ---> Rm y g: BRm ---> Rp, con f(A)B, se define gof: A ---> Rp (se lee: "f compuesto con g") como gof(x)=g(f(x)).

-18. Si lím(x->x0)f(x)=y0 y lím(y->y0)g(y)=z0, entonces lím(x->x0)gof(x)=z0. Como consecuencia, si f es continua en x0 y g es continua en f(x0), entonces gof es continua en x0.