Clase 9, L, 11/02: Decripción compleja de circunferencias, discos, rectas verticales y oblicuas y semiplanos. Topología del plano: convergencia de sucesiones, propiedades del límite, ejemplos. Repaso: conjuntos abiertos y cerrados en el plano.
Clase 10, M, 12/02: Repaso: cierre, interior, frontera; ejemplos. Uso de sucesiones en las demostraciones a la hora de determinar dichos conjuntos. Dominios planos (conjuntos abiertos y conexos); enunciado: todo dominio es conexo por caminos, idea de la demostración. Dominios simplemente conexos, ejemplos. Repaso: conjuntos compactos en el plano, descripciones, ejemplos. La necesidad de compactificar el plano complejo.
Clases 11 X, 13/02: Esfera de Riemann, proyección estereográfica, deducción de las fórmulas explícitas para la proyección y para su aplicación inversa. Punto en el infinito y el plano complejo extendido. Homeomorfismo entre la esfera y el plano extendido.
Clase 12, J, 14/02: Las propiedades geométricas de la proyección estereográfica. Aritmética en el plano complejo extendido. Funciones de variable compleja, ejemplos. Concepto del límite de una función de variable compleja, ejemplos.
Clase 13, L, 18/02: Propiedades de los límites. Límite infinito, límite en el infinito, ejemplos con funciones racionales. El límite de todo polinomio no constante en el infinito es el infinito: demostración detallada. Continuidad, primeras propiedades. Ejemplos de funciones continuas (identidad, módulo, conjugado, parte real, parte imaginaria, polinomios,...). Continuidad de la composición de funciones continuas (repaso). 
Clase 14, M, 19/02: Primer control parcial.
Clase 15, X, 20/02: Continuidad uniforme en un dominio plano: definición, un ejemplo de una función continua que no es uniformemente continua, teorema de Cantor. Convergencia puntual de una sucesión de funciones complejas; ejemplo: potencias de z. Converencia uniforme de una sucesión de funciones complejas, relación con la convergencia puntual. Ejemplo con las potencias de z en el disco: convergencia uniforme en los subconjuntos compactos del disco.
Clase 16, J, 21/02: Las convergencias puntual y uniforme de series de funciones complejas. Ejemplo fundamental: la serie geométrica compleja en el disco unidad (convergencias puntual, no uniforme en el disco entero y uniforme en los subconjuntos compactos). Criterios de convergencia: término general, criterio uniforme de Cauchy, criterio (M-test) de Weierstrass.
Clase 17, L, 25/02: Los límites uniformes de funciones continuas en compactos son funciones continuas. Ejemplos. Definición de la función exponencial compleja (usando la exponencial real y la fórmula de Euler). Propiedades algebraicas. Dos fórmulas alternativas (una serie de potencias y un límite). La derivada compleja; ejemplos. Derivada de la función exponencial.
Clase 18, M, 26/02: Comentarios sobre las hojas de problemas y exámenes parciales. Acerca de las distintas formas de construir funciones holomorfas (fórmulas explicitas, series, productos, integrales con parámetro,...). Convergencia absoluta y condicional de series complejas. Series de potencias: ejemplos, comienzo del análisis de su dominio de convergencia, comparación con las series de potencias reales.
Clase 19, X, 27/02: Fin del análisis: teorema acerca de la convergencia de una serie de potencias. Radio de convergencia. Fórmula de Cauchy-Hadamard. Ejemplos de cálculo del radio de convergencia y análisis de la convergencia en el borde del disco de convergencia.
Clase 20, J, 28/02: Repaso de una desigualdad de Cálculo I; una fórmula alternativa para el radio de convergencia. Más ejemplos de cálculos de radio y de distintas situaciones de convergencia en el borde del disco de convergencia. Teorema: derivación término-por-término de las series de potencias con radio de convergencia positivo.
Clase 21, L, 04/03: Comentarios acerca de las hojas de problemas y el segundo examen parcial. Fin de la demostración del teorema sobre la derivación de series de potencias. Ejemplos de derivación de series de potencias. La serie de potencias de la función exponencial coincide con su derivada.
Clase 22, M, 05/03: Sumas de series de potencias. Las funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas, sus propiedades algebraicas, sus derivadas y desarrollos en series de potencias. Productos (teorema de Mertens, enunciado); ejemplo de multiplicación de dos series con distintos radios de convergencia.
Clase 23, X, 06/03: De vuelta a las funciones holomorfas: derivabilidad implica continuidad, regla de la cadena (demostración). Ecuaciones de Cauchy-Riemann, demostración. Aplicación: resolución de la ecuación diferencial compleja f ' = f que cumple la exponencial, para demostrar que coincide con la serie de potencias vista antes. 
Clase 24, J, 07/03: El cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann no implica la holomorfía; ejemplos. Las funciones C¹ que cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann son holomorfas; demostración. Ejemplos.
Clase 25, L, 11/03: Otro ejemplos relaiconado con las ecuaciones C-R (un anticipo del Teorema de la aplicación abierta). Comentarios sobre el segundo examen parcial y materiales docentes. Soluciones de algunos ejercicios de las entregas de problemas: 18. d), 23. c), 24.
Clase 26, M, 12/03: Entrega 6 de problemas: sugerencias y resolución de varias dudas (clase más breve).
Clases 27--28, X, 13/03 (dos horas, una recuperada por adelantado):
   1. Resolución de ejercicios: 17. b); 26. b); 31; 37. a), c); 38, otros comentarios.
   2. Funciones armónicas en el plano (reales y complejas): definición, ejemplos. Relación con las funciones analíticas.
Clase 29, J, 14/3:  Segundo control parcial.
Clase 30, L, 18/03: Fin de la resolución del problema 37. a), aclaraciones. Conjugada armónica (en un dominio simplemente conexo): enunciado, comentarios un ejemplo de su cálculo. Derivadas de Wirtinger: definición, formalismos, ejemplos.
Clase 31, M, 19/03: Derivadas de Wirtinger: motivación, más acerca de la relación de las ecuaciones de Cauchy-Riemann con la holomorfía. Propiedades de las derivadas de Wirtinger (con algunas demostraciones), ejemplo de cálculo de un Laplaciano usando dichas derivadas.
Clase 32, X, 20/03: Logaritmos de números complejos. Potencias definidas a través del logaritmo. Ejemplos de cálculos de logaritmos y potencias. Coincidencia de los valores de la raíz cuadrada vistos antes y los nuevos (definidos como potencia de z). La no continuidad del logaritmo en el plano agujereado y la necesidad de restringir el dominio (al plano con un corte, eligiendo una "rama" o determinación del argumento) o "ampliarlo" (obteniendo una superficie de Riemann - sólo noción intuitiva).
Clases 33--34, J, 21/03 (dos horas, una recuperada por adelantado):
   1. El logaritmo y las potencias como funciones holomorfas (definidas en un dominio restringido, eligiendo una determinación adecuada del argumento). Teorema de la función inversa para funciones holomorfas; demostración usando el teorema de la función inversa de Cálculo Multivariable. Cálculo explícito de las derivadas del logaritmo y de la raíz cuadrada (adecuadamente definidas) como funciones holomorfas.
    2. Repaso de curvas en el plano: camino, traza, parametrizaciones (caminos) equivalentes, curva como clase de equivalencia, cambio de orientación, suma de dos curvas. Integrales de línea de funciones complejas: definición y primeras propiedades: linealidad, independencia de la parametrización, cambio de sentido = cambio de signo, integral a lo largo de la suma de dos curvas.
Clase 35, L, 25/03: Una generalización de la desigualdad integral para el valor absoluto (módulo). Curvas rectificables, longitud de arco. Estimaciones de integrales de linea. Ejemplos.
Clase 36, M, 26/03: Convergencia uniforme: intercambio del límite y de la integral compleja de línea. Algunos ejemplos significativos de cálculo de integrales de línea de funciones holomorfas: idea del teorema integral de Cauchy y de la fórmula integral de Cauchy; enunciados de algunas versiones especiales. Enunciado del resultado: holomorfía implica analiticidad.
Clases 37--38, X, 27/03 (dos horas, una recuperada por adelantado):
    1. Toda función holomorfa puede escribirse localmente como serie de potencias: demostración; comentarios, cálculo de los coeficientes de la serie. Corolario: estimaciones de Cauchy en un disco. Funciones enteras; ejemplos.
    2. Teorema de Liouville. Aplicaciones: demostración del Teorema Fundamental del Álgebra, otro ejempo/ejercicio. Comentarios acerca de los conjuntos omitidos por una función entera.  Generalización de Liouville: estimaciones de Cauchy para funciones enteras. Hacía la prueba de la Fórmula Integral de Cauchy para los discos: la fórmula de Leibniz (derivación bajo el signo de la integral).
Clase 39, J, 28/03: Demostración de la Fórmula Integral de Cauchy para los discos, a partir de la fórmula de Leibniz: 1. caso especial (para las funciones constantes); 2. caso general.
Clase 40, L, 01/04: Ejemplos de aplicaciones de la Fórmula Integral de Cauchy para los discos; la integral de Poisson. Demostración de la unicidad del desarrollo en serie de Taylor.
Clase 41, M, 02/04: Consecuencias del teorema del día anterior: propiedades de los ceros de las funciones analíticas. Multiplicidad (orden) de un cero; ejemplos. Teorema de la unicidad y sus variantes: principio de los ceros aislados; ejemplos.
Clase 42, X, 03/04: Corolario: los ceros de una función analítica no nula forman un conjunto finito o numerable. Un ejercicio resuelto, relativo al teorema de unicidad. Enunciado del Teorema Integral de Cauchy. Motivación de la necesidad de definir la función primitiva de una función holomorfa: un lema simple para las integrales de línea de las derivadas de funciones holomorfas. Enunciado del teorema de Cauchy-Goursat (versión del teorema de Cauchy para rectángulos).
Clases 43--44, J 04/04/2019 (dos horas, una recuperada por adelantado):
    1. Demostración del Teorema de Cauchy-Goursat (teorema integral de Cauchy para rectángulos).
    2. La primitiva de una función holomorfa en un dominio simplemente conexo, definida a través de caminos poligonales. La no dependencia del camino elegido y la demostración de que realmente es la función primitiva. Forma general del Teorema Integral de Cauchy, para curvas cerradas arbitrarias C¹ a trozos. La  definición general de la primitiva de una función holomorfa en un dominio simplemente conexo.
Clase 45, M, 23/04/2019: Repaso de los teoremas probados antes de las vacaciones; comentarios sobre las funciones primitivas: diferencia de dos primitivas, cambio de punto base. Versión alternativa del Teorema integral de Cauchy, para dominios generales y curvas simples y cerradas, C¹ a trozos. Teorema de Green: repaso, forma compleja. Deducción de la versión del Teorema integral de Cauchy para el borde de un dominio acotado por una o varias cuvas simples y cerradas, C¹ a trozos. Idea de una demostración alternativa, sin usar la fórmula de Green.
Clase 46, X, 24/04/2019: Generalización de la fórmula integral de Cauchy para curvas arbitrarias  C¹ a trozos, simples y cerradas. La fórmula integral de Cauchy para las derivadas. Ejemplos. Índice de un punto respecto a una curva; significado geométrico. Sugerencias para algunos ejercicios (entrega 8)
Clases 47--48, J, 25/04/2019 (dos horas, una recuperación adelantada):
   1. Comentarios y soluciones de algunos ejercicios (entrega 9). Singularidades aisladas: clasificación, ejemplos. Residuos: definición, justificación de la no dependencia de la integral del radio.
   2. Teorema de la singularidad evitable de Riemann. Orden de un polo. Enunciado del teorema de Casorati-Weierstrass. Series de Laurent; sus formas en los tres casos posibles de singularidades aisladas y mención de su relación con los residuos.
Clases 49--50, L, 29/04/2019 (dos horas, una recuperación adelantada):
    1. Tercer examen parcial.
    2. Series de Laurent, ejemplos. Relación con los residuos. Fórmula para el residuo en el caso de un polo; ejemplos de cálculo del valor del residuo en distintos casos. Teorema de los residuos. Una aplicación al cálculo de integrales.
Clase 51, M, 30/04/2019: Aplicaciones cuantitativas del teorema de los residuos: un ejemplo típico de cálculo de una integral impropia: elección del contorno, estimaciones para la integral sobre una semicircunferencia, cálculo del residuo. Algunas aplicaciones cualitativas: principio del argumento, interpretación que justifica el nombre.
Clase 52, L, 06/05/2019: Más ejemplos de cálculos de integrales impropias: comentarios sobre las estimaciones para ciertas funciones racionales, manejo de las funciones trigonométricas introduciendo funciones exponenciales, Lema de Jordan (con demostración), un ejemplo de cálculo de una integral impropia con funciones racionales y trigonométricas. Aplicaciones cualitativas del teorema de los residuos: teorema de Rouché: demostración, diferentes enunciados.
Clase 53, M, 07/05/2019: Ejemplos de aplicaciones del principio del argumento y del teorema de Rouché; resolución del ejercicio 83. Otro ejemplo de cálculo de una integral impropia, involucrando las series de Laurent, variaciones de contornos y funciones trigonométricas y exponenciales. Los ejercicios 77, 79 y 80 ya están resueltos en los materiales docentes.
Clase 54, X, 08/05/2019: Cuarto y último examen parcial.
Clase 55, J, 09/05/2019: Otras aplicaciones cualitativas del teorema de los residuos: teorema de la aplicación abierta, principio del módulo máximo (dos versiones), comentarios y ejemplos.
Clase 56, L, 13/05/2019: Lema de Schwarz: demostración y un ejemplo de su uso. Automorfismos del disco:1. rotaciones, 2. involuciones y sus propiedades; composiciones de las rotaciones e involuciones; caracterización de los automorfismos del disco (usando el lema de Schwarz).
Clase 57, M, 14/05/2019:  Funciones univalentes y localmente univalentes; enunciado de la equivalencia con la no anulación de la derivada. Noción de propiedad conforme: preservación de ángulos entre curvas. Enunciado del teorema de la aplicación de Riemann. Ejemplos de funciones complejas vistas como transformaciones (aplicaciones) conformes: traslaciones, homotecias, rotaciones, cuadrados, raíces, función exponencial, transformaciones de Möbius y sus propiedades básicas, ejemplos.

Tutorías de grupo para los últimos días del curso:
J, 16/05/2019, de 11:30 a 12:30 (en el aula de clase): dudas teóricas, repaso de varios ejercicios relevantes.
V, 17/052019, de 12:00 a 13:00, Módulo 17, Aula 102 (cercana al Laboratorio Numérico del Departamento de Matemáticas): dudas teóricas, repaso de varios ejercicios relevantes.