Clases 1-3 (impartidas por Luis Guijarro), L, 10/09/2018 - X, 12/09/2018: Introducción y presentación de los contenidos de la asignatura. Bibliografía. Método de evaluación. La idea de generalizar las definiciones del Cálculo/Análisis Matemático de las que nace el concepto de una métrica, a partir de la distancia en la recta real. Definición de espacio métrico. Ejemplos: métrica discreta, varias métricas en R, incluida la composición con una función positiva, creciente y subaditiva para generar nuevas métricas. Las métricas d_p en Rⁿ, métricas en espacios de funciones. Generalización de los intervalos y discos: bolas abiertas, bolas cerradas, esferas en un espacio métrico. Ejemplos en espacios euclídeos, las diferentes formas de las bolas en Rⁿ con las distintas métricas d_p.
  Clase 4, J, 13/09/2018: Comentarios adicionales sobre la asignatura, hojas de problemas. Representación de las bolas y esferas en C[a,b], ejemplos. Comentarios sobre el tamaño del conjunto de las funciones derivables en algún punto respecto al resto del espacio C[a,b]. Conjuntos abiertos: definición, ejemplos en R² con la métrica euclídea.
  Clase 5, L, 17/09/2018: Propieades de conjuntos abiertos. Más ejemplos. Métricas equivalentes: definición; los conjuntos abiertos inducidos por las métricas d_p en Rⁿ coinciden. Conjuntos cerrados: definición y ejemplos.
  Clase 6, M, 18/09/2018: Propiedades de conjuntos cerrados. Ejemplos adicionales. Puntos interiores e interior de un conjunto: definciones, ejemplos y propiedades. Cierre (clausura o adherencia) de un conjunto: ejemplos y propiedades.
  Clase 7, X, 19/09/2018: (CAMBIO DE AULA: Módulo 16, 101-1) Demostraciones de algunas propiedades enunciadas del interior y del cierre. Puntos aislados. Puntos de acumulación.
  Clase 8, J, 20/09/2018: Conjunto derivado. Propiedades; relación del cierre con el conjunto derivado y los puntos aislados. Ejemplos de puntos aislados y puntos de acumulación, con la métrica habitual y con la métrica discreta en R. Entornos y entornos abiertos.
  Clase 9, L, 24/09/2018: Comentarios sobre entornos, propiedades. Frontera: ejemplos y propiedades. Convergencia de sucesiones en espacios métricos. Ejemplos.
  Clase 10, M, 25/09/2018: Relación de las sucesiones convergentes con el cierre, el conjunto derivado y los puntos aislados. Subsucesiones. Conjuntos acotados,diámetro, sucesiones acotadas. Sucesiones de Cauchy; espacios métricos completos. Relación entre las sucesiones convergentes, las de Cauchy y las acotadas. Ejemplos.
  Clase 11, X, 26/09/2018: Funciones: repaso de propiedades básicas relativas a la imagen y preimagen, uniones e intersecciones. Continuidad de funciones: definiciones usando bolas abiertas; definiciones alternativas, usando entornos abiertos y sus imágenes y preimágenes. Continuidad por sucesiones: caracterización (de dos maneras); ejemplos pertinentes. Continuidad en un conjunto. Continuidad y preimágenes de conjuntos abiertos (o cerrados); ejemplos.
  Clase 12, J, 27/09/2018: Caracterización de conjuntos cerrados por sucesiones (omitido antes). Demostración de la caracterización de continuidad por preimágenes. Continuidad uniforme; preservación de las sucesiones de Cauchy por funciones uniformemente continuas. Resolución de una pregunta propuesta en clase. HOJA 1: soluciones de ejercicios 1 y 11.
  Clase 13, L, 01/10/2017: HOJA 1: resolución de ejercicios 3, 5, 9, 10, 15 y 17.i).
  Clase 14: M, 02/10/2017: Definición de topología y espacios topológicos. Ejemplos: topología métrica, topologías discreta y trivial, algunas topologías concretas en conjuntos finitos, topologías cofinita y conumerable. HOJA 1: ejercicio 17. ii).
  Clase 15: X, 03/10/2018: Comparación de topologías (una más fina que otra), ejemplos. Intersección arbitraria de topologías es otra topología. Ejemplo relativo a las uniones de topologías. HOJA 1: ejercicio 6.
  Clase 16, J, 04/10/2018: HOJA 1: ejercicios 7, 12, 15, 19. i).
  Clase 17, L, 08/102018: HOJA 1: ejercicio 19. ii). Base de una topología dada. Ejemplos: espacios métricos, topología discreta. Una condición necesaria y suficiente para que una colección sea base de alguna topología e identificación de dicha topología.
  Clase 18, M, 09/10/2019: Una condición suficiente para que una colección sea base de una topología dada. Ejemplos de distintas bases de la topología usual de la recta y del plano. Topología de Sorgengrey (o del límite inferior). Definición de subbase (para alguna topología). Intersecciones finitas de elementos de una  subbase son base para una topología.
  Clase 19, X, 10/10/2018: Demostración de la propiedad del día anterior. Topología generada por una subbase o por un subconjunto del espacio: caracterización. Definición alternativa: subbase para un topología dada. Ejemplos de subbases: topología usual en R; topología cofinita en un conjunto infinito.
  Clase 20, J, 11/10/2018: Breve repaso y ejemplos de relaciones de orden (parcial y total); orden lexicográfico. La topología del orden: definición por subbase. Ejemplos: topología del orden en R (la usual), en N (la discreta), en otros subconjuntos de R (unión de una semirrecta cerrada y un intervalo abierto), en el plano con orden lexicográfico.
  Clase 21, L, 15/10/2018: Topología del producto cartesiano de dos espacios: propiedades relativas a su base y subbase, ejemplos: topología producto del plano, plano de Sorgenfrey. Topología de subespacio (relativa): definición.
  Clase 22, M, 16/10/2018: Topología de subespacio (relativa): primeras propiedades, ejemplos, relación con la topología producto. Los conjuntos cerrados en espacios topológicos: propiedades básicas, ejemplos (no métricos).
  Clase 23, X, 17/10/2018: Propiedades de cerrados relativas a la topología de subespacio. Cierre e interior en espacios topológicos: definición, propiedades. Descripción alternativa del cierre en un espacio topológico.
  Clase 24, J, 18/10/2018: Ejemplos de interior y cierre en algunas topologías, la cofinita incluida. Propiedades adicionales de interiores y cierres en espacios topológicos y su comparación cuando se tienen dos topologías comparables. Entornos y entornos abiertos. Propiedades.
  Clase 25: L, 22/10/2018: Puntos de acumulación y el conjunto derivado en espacios topológicos: propiedades, ejemplo con la topología cofinita de N. Frontera en espacios topológicos: propiedades. HOJA 1: Ejercicios 4, 20. HOJA 2: Ejercicio 24.
  Clase 26: M, 23/10/2018: Separación de puntos por bolas abiertas en espacios métricos; la propiedad T₂ (espacios de Hausdorff). Otro ejemplo: topología del orden. Axioma T₁. Ejemplo: R con la topología cofinita es T₁ pero no es Hausdorff (HOJA 3, 43. i). Propiedades: un espacio es T₁ si y sólo si todo conjunto finito en él es cerrado; cualquier topología T₁ es más fina que la cofinita.
  Clase 27, X, 24/10/2018: Propiedades adicionales de espacios de Hausdorff. Espacios T₀. Ejemplo de un espacio que es T₀ pero no es T₁ (HOJA 3, 42. i). Convergencia de sucesiones en un espacio topológico. Ejemplos en distintas topologías de R (usual, Sorgenfrey, trivial) y en otros espacios (no unicidad del límite). Unicidad del límite en espacios de Hausdorff. T₁ y puntos de acumulación. 
  Clase 28, J, 25/10/2018: Ejercicios variados. HOJA 1: Ejercicio 18. HOJA 2: Ejercicios 26, 30, 31, 40. i)-iv).
  Clase 29, L, 29/10/2018: Ejercicios variados. HOJA 2: Ejercicios 39, i).ii), 40. v)-vi). HOJA 3: 42. ii), 43. ii), 47. 
  Clase 30, M 30/10/2018: Ejercicios variados. HOJA 2: Ejercicios 32, 39, iii), vi), vii), viii).
  Clase 31, X, 31/10/2018: Primer examen parcial (en el aula del otro grupo: 401, Módulo 3 (comienzo: a las 10:25).
  Clase 32: L, 05/11/2018: Continuidad (global) de una función entre espacios topológicos. Ejemplos de funciones (continuas y discontinuas) de R en R (dotado de distintas topologías). Caracterizaciones equivalentes de la continuidad global: enunciado y demostraciones.
  Clase 33: M, 06/11/2018: Homeomorfismos: definición, propiedades básicas. Espacios homeomorfos, la homeomorfía es una relación de equivalencia. Ejemplos de conjuntos homeomorfos en R y en el plano.
  Clase 34: X, 07/11/2018: Más ejemplos de funciones continuas y formas de producirlas a partir de otras dadas: constantes, inclusiones, composiciones, restriccciones, formulació local de la continuidad, extensión o reducción del recorrido, lema del parcheado (o del pegamiento).
  Clase 35, J, 08/11/2018: Un ejemplo de uso del lema del parcheado. Continuidad de las operaciones con funciones continuas con valores reales. Continuidad de las funciones coordenadas para las funciones de un espacio topológico en el producto de otros dos espacios. La topología producto: caso general (producto numerable). La topología por cajas y la topología producto. Observaciones: para un producto finito, y, para un producto infinito, la topologia por cajas es estrictamente más fina.
  Clase 36: L, 12/11/2018: Notación: I-tuplas arbitrarias. Axioma de elección. Comentarios sobre su relación con la existencia del producto cartesiano y con otros resultados, constructivismo. La topología por cajas en el producto cartesiano de una colección arbitraria de espacios topológicos.
  Clase 37: M, 13/11/2018: La topología producto en el producto cartesiano de una colección arbitraria de espacios topológicos. Propiedades: continuidad de las proyecciones, propiedades del producto de subespacios, productos de espacios de Hausdorff, propiedades relativas a las bases, cierre del producto; enunciados y algunas pruebas. HOJA 4: Ejercicio 61. i), iii).
  Clase 38: X, 14/11/2018: Continuidad por coordenadas de una función de un espacio topológico en el producto de otros espacios topológicos, en la topología producto. Contraejemplo pertinente para la topología por cajas. Ejemplo: aplicación continua que no lleva abiertos en abiertos, aplicaciones abiertas: definición, ejemplos. Ejemplo: aplicación continua y abierta que no lleva cerrados en  cerrados.
  Clase 39, J, 15/11/2018: Aplicaciones cerradas: definición y ejemplos. Aplicación cociente (identificación): definición, primeras propiedades, ejemplos.
  Clase 40, L, 19/11/2018: Dos ejemplos de aplicaciones sobreyectivas, continuas y cerradas (y, por tanto, cocientes) que no son abiertas. Ejercicios variados. HOJA 2: Ejercicio 39, vii), corrección. HOJA 4: 49, 50.
  Clase 41, M, 20/11/2018: HOJA 3: Ejercicio 44. Existencia de una topología en el espacio de llegada que hace de una aplicación sobreyectiva una cociente. Repaso: particiones y relaciones de equivalencia de un conjunto. Proyección natural (canónica), topología cociente: definición, ejemplos (circunferencia, superficie cilíndrica, toro, banda de Möbius).
  Clase 42: X, 21/11/2018: HOJA 4: Ejercicio 51. Conexión: definición de un espacio conexo y de un subespacio conexo, primeras propiedades (caracterizaciones equivalentes). Ejemplos: el espacio de Sierpinski es conexo; algunos conjuntos no conexos en R.
  Clase 43: J, 22/11/2018: Subespacios conexos de R: equivalencia con la convexidad y con ser un intervalo. Comentarios sobre la extensión a los continuos lineales. La imagen de un conexo por una aplicación continua es otro conexo. Aplicación: la gráfica de una función de un intervalo en R es un subconjunto conexo de R².  Unión de conexos con interscción no vacía es conexa. Ejemplo con uniones de gráficas.
  Clase 44: L, 25/11/2018: Corolario: la unión de conexos que cortan a un conexo (junto con él) es conexa (= HOJA 5, Ejercicio 72. ii)). Conexión del producto cartesiano finito de conexos. Los conjuntos que contienen a un conexo y están contenidos en su cierre también son conexos. Teorema del valor medio (generalizado).
  Clase 45: L, 25/11/2018 (hora no habitual -en el horario de TIM- en lugar de la clase del martes 26) Conexión por caminos. Ejemplos: intervalos en la recta, conjuntos en el plano, la curva seno del topólogo.
  Clase 46: X, 27/11/2018: Componentes conexas: definición, propiedades, ejemplos en R. Componentes conexas por caminos: definición, propiedades, ejemplo: la curva seno del topólogo, de nuevo. Teorema: todo abierto y conexo en el plano es conexo por caminos (enunciado, relevancia).
  Clase 47: J, 28/11/2018: Representación de los abiertos de R. Conexión local: definición, ejemplos. Compacidad: repaso de los hechos conocidos en espacios euclídeos, definición en espacios topológicos, ejemplos. HOJA 4: Ejercicio 53. i).
  Clase 48: L, 03/12/2018: Ejemplo: compacidad de los conjuntos finitos. Relación entre los compactos y los cerrados en espacios compactos y en espacios de Hausdorff. Separación de puntos y conjuntos compactos por abiertos. Ejemplo: los cerrados y los compactos en la recta con topología cofinita. La imagen de un compacto por una aplicación continua es compacta.
  Clase 49: M, 04/12/2018: Las aplicaciones continuas y biyectivas de un compacto en un espacio de Hausdorff son homeomorfismos (= HOJA 5, Ejercicio 91). La propiedad de la intersección finita. Compacidad del producto cartesiano: la implicación fácil en el teorema de Tychonoff. HOJA 4: Ejercicio 53. iii).
  Clase 50: X, 05/12/2018: Lema del tubo (cilindro), demostración del teorema de Tychonoff (Tíjonov) para el producto de dos espacios compactos. Compacidad de intervalos cerrados en conjuntos totalmente ordenados con la propiedad del supremo: enunciado y corrección del enunciado del libro.
  TUTORÍA DE GRUPO: X, 05/12/2018: a las 11:30 en el aula de clase. Dudas teóricas y correcciones. HOJA 4: Ejercicios 53. ii), 54, 61. ii); HOJA 5. Ejercicio 73.
  Clase 51: L, 10/12/2018: HOJA 5: Ejercicios 71, 74, 89, 90. Observación importante: los problemas 71. i) y 74. i) pueden usarse como resultados teóricos en cualquier examen (sin prueba, pero correctamente enunciados).
  Clase 52: M, 11/12/2018: HOJA 4: 67. Preguntas/dudas. HOJA 5: 81 ii), iii).
  Clase 53: X, 12/12/2018: Axiomas de numerabilidad: motivación (lema de la sucesión), I y II AN, primeras propiedades, ejemplos.
  TUTORÍA DE GRUPO: X, 12/12/2018: a las 11:30 en el aula de clase. Correcciones, dudas teóricas. Repaso del segundo examen parcial del año 2017-18.
  Clase 54: J, 13/12/2018: Segundo examen parcial. Grupo de Doble Titulación y M1: Aula 302, Módulo 00 (a las 10:25)
  Clase 55: L, 17/12/2018: Espacios separables, recubrimientos numerables, espacios de Lindelöf: propiedades y ejemplos. Idea de la topología algebraica: intuición para definir el grupo fundamental. Homotopía entre dos aplicaciones: definición y ejemplos.
  Clase 56: M, 18/12/2018: Homotopía de caminos: una relación de equivalencia. Composición de dos caminios y la operación que induce entre las clases de equivalencia. Lazos, camino inverso. Grupo fundamental.
  Clase 57, X, 18/12/2018: Independencia del grupo fundamental del punto base en espacios conexos por caminos. Espacios simplemente conexos. Ejemplos: espacios euclídeos y sus subconjuntos convexos. Espacios homeomorfos tienen grupos fundamentales isomorfos. Ejemplos: algunos subconjuntos no convexos del plano que son simplemente conexos.
  Clase 58, J, 19/12/2018: Grupo fundamental de la circunferencia: enunciado. Grupo fundamental del espacio producto; ejemplos: los grupos fundamentales del toro (superficie) y del toro sólido:  HOJA 6: Ejercicio 101.ii). Retracto y retracto de deformación fuerte: definición y ejemplos. El retracto de deformación fuerte de un espacio tiene el mismo grupo fundamental. Ejemplos: los grupos fundamentales del plano agujereado, de un cilindro y de una corona: HOJA 6. Ejercicio 101. i).