Topología, 2017-18: Desarrollo del curso día a día: 

  L, 11/09/2017: Introducción. Algunas ideas y contenidos de la asignatura Topología. Bibliografía. Método de evaluación. Repaso de los conjuntos y operaciones con ellos, leyes de de Morgan, producto directo, etc.
  M, 12/09: La idea de generalizar las definiciones del Cálculo/Análisis Matemático de las que nace el concepto de una métrica, a partir de la distancia en la recta real. Definición de espacio métrico. Ejemplos: métrica discreta, varias métricas en R, incluida la composición con una función positiva, creciente y subaditiva para generar nuevas métricas, las métricas d_p en Rⁿ, métricas en espacios de funciones.
  X, 13/09: Generalización de los intervalos y discos: bolas abiertas, bolas cerradas, esferas en un espacio métrico. Ejemplos en varios espacios  (euclídeos y de funciones continuas o generales), las diferentes formas de las bolas en Rⁿ con las distintas métricas d_p. Conjuntos abiertos: ejemplos y propiedades relativas a uniones e intersecciones. La colección de todos los abiertos en un espacio métrico (topología inducida por la métrica).
   J, 14/09: Un ejemplo relativo a las propiedades de conjuntos abiertos. Las diferentes métricas en Rⁿ generan la misma colección de conjuntos abiertos. Conjuntos cerrados: propiedades y ejemplos. Entornos. Puntos interiores. Interior de un conjunto: definición, ejemplos y propiedades. Puntos de adherencia y cierre de un conjunto: definición y ejemplos.
   L, 18/09: Propiedades básicas de la clausura (cierre o adherencia). Borde o frontera de un conjunto: ejemplos y propiedades. Puntos aislados, puntos de acumulación y el conjunto derivado de un conjunto. Ejemplos y propiedades. Una partición del cierre: relación con el conjunto derivado.
   M, 19/09: Repaso de funciones: inyectividad, suprayectividad, propiedades de la imagen y de la imagen inversa de conjuntos por una función.  Continuidad en un punto: tres definiciones equivalentes entre sí. Continuidad en un conjunto. Relación entre la continuidad e imágenes inversas de abiertos (o cerrados). Un ejemplo de aplicaciones.
   X, 20/09: Demostración del teorema sobre la continuidad e imágenes inversas. Otro ejemplo. Distancia de un punto a un conjunto y entre dos conjuntos en un espacio métrico. Ejemplos. Relación entre la distancia nula y la adherencia. Continuidad de la función distancia.
   J, 21/09: Ejercicios (Hoja 1). Espacios topológicos: definición y primeros ejemplos.
   L, 25/09: Más ejemplos de espacios topológicos. Comparaciones entre topologías. Bases y topologías asociadas: definición.
   M, 26/09: Bases: ejemplos y propiedades. Ejercicios (Hoja 1).
   X, 27/09: Más ejercicios (Hoja 1).
   J, 28/09: Más propiedades de bases.
   L, 02/10. Subbases. Más ejercicios (Hoja 1). Repaso de las relaciones del orden. Orden lexicográfico. Ejemplos.
   M, 03/10: La topología del orden: intervalos y bases; rayos (semirrectas) y subbases. Ejemplos.
   X, 04/10: La topología del producto de dos espacios topológicos: bases, subbases. Ejemplos.
   J, 05/10: La topología de subespacio (topología heredada o relativa). Ejemplos (incluida la métrica heredada). Propiedades: relaciones con las bases y con la topología en el producto de dos espacios.
   L, 09/10: Más ejercicios (Hoja 1). Generalización de conceptos básicos a espacios topológicos: conjuntos cerrados. Ejemplos y propiedades.
   M, 10/10: Interior y cierre en espacios topológicos. Propidades y ejemplos. Equivalencias de las nuevas definiciones con las vistas anteriormente, en espacios métricos.
   X, 11/10: Más ejemplos y propiedades del interior y cierre. Puntos límite (puntos de acumulación) y conjunto derivado en un espacio topológico: propiedades.
   L, 16/10: Límites de una sucesión en un espacio métrico y en un espacio topológico y propiedades de conjuntos finitos: la necesidad de introducir axiomas de separación. Espacios de Hausdorff. Axiomas de separación.
   M, 17/10: Propiedades y ejemplos de espacios de Hausdorff (T₂). Espacios de Frechet (T₁): ejemplos y propiedades, relación con la topología cofinita.
   X, 18/10: Frontera en espacios topológicos; propiedades. Funciones continuas. Caracterización en términos de las bases y subbases.
   J, 19/10: Funciones continuas: ejemplos. Caracterizaciones equivalentes de la continuidad. Homeomorfismos: definición, idea intuitiva.
   L, 23/10: Homeomorfismos: ejemplos. Ejercicios Hoja 1.
   M, 24/10: Más ejemplos relacionados con homeomorfismos entre espacios. Ejercicios: Hoja 2.
   X, 25/10: Ejercicios: Hoja 2.
   J, 26/10: Ejercicios: Hoja 2.
   L, 30/10: Primer examen parcial (en clase).
   M, 31/10: Ejemplos de aplicaciones continuas y lemas que permiten construir otras funciones continuas a partir de unas dadas.
   J, 02/11: Más propiedades relacionadas con la continuidad. Dos maneras de definir la topología producto.
   L, 06/11: Topología producto: caso de producto de una familia numerable de espacios. Breve repaso: producto cartesiano arbitrario, axioma de elección y sus consecuencias o formas equivalentes.
   M, 07/11: Axioma de elección y el producto cartesiano de una colección arbitraria. Las dos formas de definir una topología en un producto cartesiano: caso general. Comparación. Propiedades relativas a subespacios, cierre y la propiedad de Hausdorff.
    X, 08/11: Continuidad de funciones de un espacio topológico en un producto directo: comparación de las dos topologías. Ejercicios: Hoja 3.
    L, 13/11: Aplicaciones abiertas y cerradas; aplicación cociente. Definición, ejemplos y primeras propiedades.
    M, 14/11: Más ejemplos de aplicaciones cociente. ¿Cómo convertir una aplicación sobreyectiva en una aplicación cociente definiendo la topología adecuada?
    X, 15/11: Ejercicios: Hoja 3.
    J, 16/11: Espacio cociente. Propiedades. Ejercicios: Hoja 3.
    L, 20/11: Espacio cociente; ejemplos de construcciones de ciertas superficies conocidas como espacios cociente. Conexión: definición y ejemplos. 
   M, 21/11: Caracterizaciones equivalentes de conexos. La imagen de un conexo por una función continua es conexa. Unión de conexos con intersección no vacía. Producto de conexos.
    X, 22/11: Demostración de un resultado del otro día. Los conjuntos unipuntuales son conexos. Subconjuntos conexos de la recta real con la topología usual: un conjunto de más de un punto es conexo si y sólo si es convexo si y sólo si es un intervalo (o rayo). Conexión por caminos: definición.
    J, 23/11: Conexión por caminos implica la conexión pero no viceversa. La curva seno del topólogo y otros ejemplos. Ejercicios: Hoja 3.
    L, 27/11: Componentes conexas y componentes conexas por caminos. Espacios localmente conexos. Ejemplos.
  M, 28/11: Espacios localmente conexos por arcos. Propiedades. Compacidad: repaso de las distintas caracterizaciones en Rⁿ. Definición en un espacio topológico. Ejemplos. Independencia del subespacio en el que está contenido el conjunto.
   X, 29/11: Compacidad y subconjuntos cerrados. Compacidad y axiomas de separación. Ejemplo: los compactos de la recta dotada de la topología cofinita.  Invariancia por aplicaciones continuas. Propiedad de la intersección finita y los conjuntos encajados.
   J, 30/11: Demostración de la caracterización de compacidad por intersecciones finitas del otro día. Si el producto cartesiano es compacto, cada factor es compacto. El recíproco: enunciado del teorema de Tychonoff. Lema del tubo.
   L, 04/12: Fin de la demostración del caso finito en el teorema de Tychonoff. Compacidad numerable (o por puntos de acumulación) y compacidad secuencial (compacidad por sucesiones). Equivalencia de estas definiciones en el caso de un espacio métrico (o metrizable).
    M, 05/12: Ejemplos relativos a la no equivalencia entre los tres tipos de compacidad en espacios topológicos. Teorema del mínimo y máximo para las funciones continuas en un espacio topológico y con valores reales. De vuelta a los espacios métricos: lema de Lebesgue. Teorema de continuidad uniforme (para las funciones continuas de un espacio métrico compacto en otro espacio métrico).
    J, 07/12: Compacidad en conjuntos totalmente ordenados con la propiedad del supremo (enunciado). Ejercicios: Hoja 3, Hoja 4.
    L, 11/12: Axiomas de numerabilidad. Ejercicios: Hoja 4.
    M, 12/12: Separabilidad. Ejercicios: Hoja 3, Hoja 4.
    X, 13/12: La no separabilidad del cuadrado con la topología del orden lexicográfico. Axiomas de separación (separación de conjuntos): espacios regulares y T₃. Ejemplos y propiedades. Ejercicios: Hoja 4.
    J, 14/12: Examen parcial segundo (Módulo 00, Aula 302).
    L, 18/12: Espacios normales y T4. Breve introducción a la topología algebraica. Homotopía de aplicaciones; caso especial: homotopía de caminos. Ejemplos.
   M, 19/12: Clases de equivalencia de homotopía por caminos. Composición de caminos; composición de clases de equivalencia. Lazos. Grupo fundamental. Espacios simplemente conexos. Ejemplos.
    X, 20/12: Independencia del grupo fundamental del punto base en un espacio conexo por caminos. Isomorfía de los grupos fundamentales de dos espacios homeomorfos. Más ejemplos de espacios simplemente conexos, a partir de los subespacios convexos de Rⁿ. El grupo fundamental de la circunferencia: enunciado. Grupo fundamental del producto de dos espacios. Ejemplo: grupo fundamental del toro.
     J, 21/12: Retracto y retracto de deformación fuerte. Ejemplos. Uso de la caracterización del grupo fundamental de la circunferencia. Ejemplos de cálculo de grupos fundamentales: plano agujereado, corona (indicaciones), cilindro, toro sólido.