Todos los materiales del curso (información básica, apuntes, hojas de problemas) están disponibles en la plataforma Moodle

   Semana 1, clases 1-3 (del M, 08/09 al J, 10/09/2020: Introducción. Descripción de los objetivos y contenidos de la asignatura. Bibliografía. Método de evaluación. Consejos para estudiar. Lógica elemental. Afirmaciones, proposiciones (oraciones). Operaciones con proposiciones. Negación; tabla de verdad. conjunciones (A y B) y disyuntivas (A o B), implicaciones, equivalencias y sus tablas de verdad. Condición necesaria, condición suficiente, implicación recíproca. Tautologías; ejemplos (conmutatividad de A y B, A o B, silogismo, modus ponens). Contraposición de una implicación. Cuantificadores: universal y existencial. Negación de afirmaciones con uno y dos cuantificadores. Ejemplos y contraejemplos. Demstración como sucesión de pasos lógicos.

  Semana 2, clases 4-7 (del L, 14/09 al J, 18/09/2020: Comentarios adicionales sobre la validez de una implicación y sobre cuantificadores (existe un elemento único). Métodos de demostración de resultados matemáticos. Ejemplos de demostraciones directas (con números racionales y sumas de ciertos enteros). Demostraciones Indirectas: por contraposición y por reducción al absurdo. Ejemplos: existencia de infinitos primos, irracionalidad de la raíz de 6 y de otros números relacionados. Demostración de afirmaciones sobre los números naturales; inducción matemática. Ejemplos: demostraciones de igualdades, desigualdades, afirmaciones sobre la divisibilidad. Observaciones importantes: casos de inducción con base distinta de 1, la importancia de la base inductiva y del paso inductivo, ejemplos fallidos de inducción empírica (Leibniz, Sierpinski). Otras formas -más fuertes- de la inducción: inducción recurrente (de varios valores de n al siguiente). Ejemplo: cos (n x) es un polinomio de grado n de cos x.

  Semana 3, clases 8-11 (del L, 21/09 al J, 25/09/2020: Sucesiones infinitas: ejemplos, sucesiones dadas por recurrencias; ejemplos: intereses bancarios, sucesión de Fibonacci, fórmula explícita por inducción. Comentarios sobre la fórmula para el término general de otras sucesiones dadas por recurrencias similares. Inducción fuerte o transfinita: Ejemplo: todo número natural >1 es producto de primos. Enunciado completo del teorema fundamental de la aritmética. Propuesta de ejercicios adicionales con inducción (una fórmula para la suma de recíprocos de ciertos naturales, descomposición de n cuadrados para componer un sólo cuadrado). Conjuntos, formas de especificar un conjunto, ejemplos. Pertenencia de un elemento a un conjunto, notación, irrelevancia del orden de elementos en un conjunto. Igualdad entre dos conjuntos (principio de extensionalidad). Conjunto vacío. Mención de las teorías de conjuntos "naive" y axiomática. Inclusión entre dos conjuntos, propiedades básicas de la inclusión. Relación entre inclusión e igualdad de dos conjuntos, unicidad del conjunto vacío. Diagramas de Venn. Ejemplos de conjuntos que tienen otros conjuntos como elementos. Operaciones con conjuntos: unión, intersección y diferencia de dos conjuntos. Caracterización de la relación de inclusión entre dos conjuntos a través de su intersección y su unión, métodos de demostración de inclusiones entre, o igualdades de, conjuntos, uso de tautologías. Uniones e intersecciones finitas de conjuntos, ejemplos.

   Semana 4, clases 12-15 (del L, 28/09 al J, 01/10/2020: Uniones e intersecciones infinitas de conjuntos, ejemplos. Pares ordenados, ejemplos y definición formal. Producto cartesiano de dos o más conjuntos, propiedades. Diferencia simétrica de dos conjuntos, propiedades. La paradoja de Russell, conjunto universal (universo). Conjunto complementario (a partir de un universo dado) y sus propiedades, leyes de de Morgan. Propiedades de álgebras de Boole, ejemplos. El conjunto de partes de un conjunto, ejemplos. Combinatoria elemental, ejemplos de problemas que estudia. Número de elementos en un producto cartesiano, ejemplos. Permutaciones de n elementos y su número, factoriales, fórmula recurrente para la sucesión de los factoriales. Combinaciones de k elementos en un conjunto de n elementos y los números combinatorios: definición, su cálculo usando factoriales, ejemplos, algunas propiedades. Fórmula del binomio de Newton, triángulo de Pascal (o de Tartaglia). Una demostración del teorema del binomio de Newton por inducción y otra que realmente explica por qué es cierta la fórmula. Dos aplicaciones: igualdad de las sumas de números combinatorios sobre los pares y los impares, número de elementos en el conjunto de partes de un conjunto finito. Principio de inclusión-exclusión: ejemplos, número de naturales coprimos con n y que son menores o iguales que n.

   Semana 5, clases 16-19 (del L, 05/10 al J, 08/10/2020: Principio del palomar; ejemplos aritméticos y geométricos de su uso. Funciones: concepto de  función, ejemplos, dominio, conjunto de llegada, imagen de un conjunto por una función; ejemplos. Funciones suprayectivas, inyectivas y biyectivas, ejemplos. Comportamiento de la imagen respecto a las operaciones con conjuntos. Imagen inversa de un conjunto, ejemplos, comportamiento respecto a las operaciones con conjuntos. Comentarios acerca de la inyectividad o suprayectividad de las funciones entre dos conjuntos finitos. Restricción de una función; cómo hacer una función inyectiva a partir de una que no lo es. Composición de funciones; la importancia del orden de composición, ejemplos. Concepto de función inversa, ejemplos.

  Semana 6, clases 20-22 (del M, 13/10 al J, 15/10/2020): Comentarios adicionales sobre las funciones inversas: cómo distinguir entre la función inversa y la imagen inversa, simetría de las gráficas de una función y de su inversa. Resolución de algunos ejercicios con funciones de la hoja 2. Relaciones binarias, propiedades relevantes: reflexividad, simetría, antisimetría, transitividad. Ejemplos. Relaciones de orden, definición, ejemplos: desigualdad, inclusión, divisibilidad, otros. Orden total, orden parcial. Representación gráfica de relaciones de orden (árboles). Elementos mínimos, máximos, minimales y maximales, relaciones entre ellos. Unicidad del mímino y máximo, ejemplos con varios elementos minimales y maximales. Ejercicios de varios exámenes recientes (parciales y finales): problemas con conjuntos y funciones. Primer examen parcial (V 16/10).

  Semana 7, clases 23-26 (del L, 19/10 al J, 22/10/2020): Cotas superiores e inferiores, supremos e ínfimos. Ejemplos, discusión de la unicidad. Caracterizaciones del supremo en R (con la relación de orden usual), existencia del supremo e ínfimo para conjuntos acotados. Relaciones de equivalencia, ejemplos. Congruencias módulo n. Clases de equivalencia, conjunto cociente, correspondencia con las particiones del conjunto. Familias indexadas y sus uniones. Proyección canónica al conjunto cociente. Ejemplos. Funciones definidas en el conjunto cociente, discusión de cuándo una función de este tipo está bien definida. Ejemplos. Idea de conjuntos equipotentes.

  Semana 8, clases 27-30 (del L, 26/10 al J, 29/10): Equipotencia de dos conjuntos, clases de equivalencia, idea de cardinal. Conjuntos finitos, equivalencia entre inyectividad, suprayectividad y biyectividad para funciones de un conjunto finito en sí mismo. Ejemplos de funciones biyectivas de un conjunto infinito en uno de sus subconjuntos propios. Conjuntos numerables. Propiedades: unión finita o numerable de conjuntos numerables es numerable, producto cartesiano de dos numerables es numerable. Relación de orden entre los cardinales; comprobación de que está bien definida. Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein: enunciado y algunas aplicaciones simples. Cada conjunto infinito contiene un subconjunto numerable (minimalidad del cardinal de los naturales entre todos los cardinales infinitos). Axioma de elección, función de elección; comentarios acerca de su uso en varias demostraciones. La equipotencia entre la recta real y todos sus intervalos no triviales (cerrados, abiertos y semiabiertos, acotados o no acotados). El intervalo (0,1) y R son no numerables (demostración usando el desarrollo decimal). Más ejemplos de biyecciones entre distintos conjuntos.

  Semana 9, clases 31-33 (del M, 02/11 al J, 05/11): Demostración del teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein y ejemplos adicionales de su uso. Funciones características, notación B^A. Comparación entre el cardinal de un conjunto y su conjunto de partes. Comentarios adicionales sobre cardinales; hipótesis del continuo. Teoría elemental de números. Operaciones binarias en Z: suma, multiplicación y sus propiedades (estructura de anillo). Algoritmo de la división, cociente y resto y su unicidad. Uso del orden natural entre los enteros, principios del máximo y del mínimo. Divisores comunes, existencia y unicidad del máximo común divisor. Algoritmo de Euclides: demostración, ejemplo.

  Semana 10, clases 34-36 (del M, 10/11 al J, 12/11): Números coprimos (relativamente primos entre sí). Identidad de Bézout, ejemplos. Ecuaciones diofánticas: planteamiento, un ejemplo de la vida real, caracterización de las ecuaciones diofánticas que tienen soluciones enteras. Fórmula para la solución general de una ecuación diofántica. Repaso de algunos hechos básicos de la teoría de números. Mínimo común múltiplo: existencia y unicidad, método de calcularlo. Teorema fundamental de la aritmética, demostración de la unicidad de la factorización. De vuelta a las congruencias módulo n: sistemas completa de restos, operaciones con congruencias, ejemplos.

  Semana 11, clases 37-40 (del L, 16/11 al J, 19/11): Una aplicación de las congruencias: criterios de divisibilidad por 9 y por 3. Ejemplos. Sistema completo de restos módulo n. Pequeño teorema de Fermat. Propiedades adicionales: congruencias simultáneas módulo varios números distintos y relación con el mínimo común múltiplo. Ejemplos. Propiedades algebraicas del anillo Z_n. Inverso multiplicativo, unidades. Ecuaciones lineales con congruencias: existencia y unicidad de soluciones, ejemplos. Teorema chino del resto; ejemplos. Función de Euler y sus propiedades. Sistema reducido de restos módulo n. Teorema de Euler, demostración, ejemplo.

   Semana 12, clases 41-44 (del L, 23/11 al J, 26/11): Definición formal del cuerpo Q como conjunto cociente de una relación de equivalencia, comprobación de algunas de las propiedades básicas. Extensiones del cuerpo Q: el esquema de construcción de los números reales, R, como subconjuntos de racionales (cortaduras de Dedekind). Definición formal de los números complejos como RxR, con las operaciones correspondientes con los pares, comprobación de algunas propiedades. Operaciones aritméticas con los números complejos, dos formas de hallar el inverso multiplicativo de un número no nulo. Conjugación compleja: propiedades, ejemplos. Módulo: propiedades, ejemplos. Representación polar: ejemplos, números de módulo uno, multiplicación de números dados en forma polar, aplicaciones a la trigonometría. Fórmula de A. de Moivre, ejemplos y aplicaciones. Segundo examen parcial (V, 27/11).

   Semana 13, clases 45-48 (del L, 30/11 al J, 03/12): Raíces de números complejos, ejemplos. Raíces de la unidad, interpretación geométrica. Repaso de las definiciones de grupos, anillos y cuerpos, ejemplos. Anillos de polinomios, operaciones básicas y sus propiedades. Acerca de los grados de la suma y del producto. Ejemplos de multiplicación en R[x] y en Z₁₂[x]. Caracterización de los polinomios invertibles en K[x], K cuerpo. Teorema de la división de polinomios; existencia y unicidad del cociente y resto, ejemplos en Q[x] o R[x] y Z₅[x]. Para un cuerpo K, el anillo K[x] es un dominio de integridad (no tiene divisores de cero). Divisibilidad de un polinomio por otro, máximo común divisor, unicidad (si es mónico).

   Semana 14, clases 49-50 (del X, 08/12 al J, 09/12): Algoritmo de Euclides, identidad de Bézout, polinomios coprimos, el análogo polinómico de las ecuaciones diofánticas, cálculo del máximo común divisor de dos polinomios, ejemplos. Evaluación de polinomios en el anillo de los coeficientes, diferencias entre el polinomio y la función polinómica asociada. Ceros de un polinomio, lema de Bézout, multiplicidad de un cero, ejemplos. Relación entre el grado de un polinomio con coeficientes en un cuerpo y el número de sus ceros en el cuerpo en cuestión; contraejemplos para un anillo. Varios teoremas de unicidad de un polinomio a partir de la información sobre sus ceros, unicidad de factorización en factores lineales.

   Semana 15, clases 51-54 (del L, 14/12 al J, 17/12): Teorema fundamental del álgebra: enunciado y ejemplos. Reducibilidad en C[x] y en R[x]. Comentarios sobre la multiplicidad de un cero. Raíces racionales de los polinomios en Z[x]; ejemplos. Polinomios reducibles e irreducibles,  ejemplos. Reducibilidad en Q[x], polinomios primitivos, lema y teorema de Gauss. Criterio de Eisenstein. Reducción módulo un primo. Ejemplos de reducibilidad en distintos anillos de polinomios: ejercicios de repaso. Comentarios adicionales acerca de los resultados equivalentes al Axioma de elección: teorema de buen ordenamiento de Zermelo, principio de maximalidad de Hausdorff, lema de Zorn, comentarios sobre la equivalencia entre las 4 afirmaciones.